Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ? | MetMat

Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?

En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ (variables indépendantes) et $V(aX) = a^2 V(X)$ , après avoir identifié les variances élémentaires

Calculer $V(aX + bY + c)$ pour des variables $X$ et $Y$ indépendantes, à partir de leurs variances individuelles.

L'objectif

Calculer $V(aX + bY + c)$ pour des variables $X$ et $Y$ indépendantes, à partir de leurs variances individuelles.

Le principe

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ; de plus $V(aX) = a^2 V(X)$ et $V(X + c) = V(X)$ pour toute constante $c$ .

La méthode

1
Vérifier que les variables sont bien indépendantes (condition indispensable pour l'additivité de la variance).
2
Identifier les variances élémentaires $V(X_1), V(X_2), \ldots$ (loi connue, tableau de loi, ou formule usuelle).
3
Appliquer les règles : $V(aX) = a^2 V(X)$ , $V(X + c) = V(X)$ , et $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
4
Calculer la valeur numérique. Si besoin, déduire l'écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ une variable aléatoire de variance $V(X) = 4$ . Calculer $V(3X)$ et $V(3X + 7)$ .

Étape 1 —

Vérifier que les variables sont bien indépendantes (condition indispensable pour l'additivité de la variance).

Il n'y a qu'une seule variable, la condition d'indépendance ne s'applique pas ici.

Étape 2 —

Identifier les variances élémentaires

V(X_1), V(X_2), \ldots

(loi connue, tableau de loi, ou formule usuelle).

On sait que $V(X) = 4$ .

Étape 3 —

Appliquer les règles :

V(aX) = a^2 V(X)

V(X + c) = V(X)

, et

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

X

Y

sont indépendantes.

On applique $V(aX) = a^2 V(X)$ : $V(3X) = 3^2 \times V(X) = 9 \times 4 = 36$ . Puis $V(3X + 7) = V(3X)$ car l'ajout d'une constante ne change pas la variance.

Étape 4 —

Calculer la valeur numérique. Si besoin, déduire l'écart-type :

\sigma = \sqrt{V}

$V(3X) = 36$ et $V(3X + 7) = 36$ .

Application guidée

On lance deux dés équilibrés indépendants. Soit $X$ et $Y$ leurs résultats. Calculer $V(X + Y)$ sachant que $V(X) = V(Y) = \frac{35}{12}$ .

Application autonome 1

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes avec $V(X) = 5$ et $V(Y) = 3$ . Calculer $V(2X - 3Y + 1)$ .

Application autonome 2

Soit $X_1, X_2, X_3$ trois variables aléatoires indépendantes de même variance $V = 6$ . Calculer $V(X_1 + X_2 + X_3)$ et $\sigma(X_1 + X_2 + X_3)$ .

Application autonome 3

Soit $X$ et $Y$ indépendantes avec $V(X) = 9$ et $V(Y) = 4$ . Calculer $V(X - Y)$ et vérifier que $V(X - Y) \neq V(X) - V(Y)$ .

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En appliquant V(X+Y)=V(X)+V(Y)V(X + Y) = V(X) + V(Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y) (variables indépendantes) et V(aX)=a2V(X)V(aX) = a^2 V(X)V(aX)=a2V(X), après avoir identifié les variances élémentaires

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ (variables indépendantes) et $V(aX) = a^2 V(X)$ , après avoir identifié les variances élémentaires