Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne $M_n$ d'un échantillon ? | MetMat

Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne $M_n$ d'un échantillon ?

En appliquant $E(M_n) = \mu$ , $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ , $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (l'écart-type est divisé par $\sqrt{n}$ )

Calculer $E(M_n)$ , $V(M_n)$ et $\sigma(M_n)$ pour la moyenne empirique d'un échantillon de taille $n$ , et comprendre que l'écart-type de $M_n$ est divisé par $\sqrt{n}$ par rapport à celui de la population.

L'objectif

Le principe

Si $X_1, \ldots, X_n$ sont i.i.d. de même espérance $\mu$ et variance $V$ , alors $M_n = \frac{1}{n}\sum X_i$ vérifie $E(M_n) = \mu$ , $V(M_n) = \frac{V}{n}$ et $\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ : augmenter la taille de l'échantillon concentre la moyenne autour de $\mu$ .

La méthode

1
Identifier les paramètres de la population : espérance $\mu = E(X_i)$ , variance $V = V(X_i)$ , écart-type $\sigma = \sqrt{V}$ .
2
Écrire $M_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$ et appliquer la linéarité de l'espérance : $E(M_n) = \frac{1}{n} \cdot nE(X_i) = \mu$ .
Comment calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires par linéarité ?Voir
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Appliquer l'additivité de la variance (variables indépendantes) puis $V(aX) = a^2 V(X)$ : $V(M_n) = \frac{1}{n^2} \cdot nV(X_i) = \frac{V}{n}$ .
Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?Voir
4
En déduire l'écart-type : $\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{V}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Interpréter : si $n$ est multiplié par $4$ , l'écart-type est divisé par $2$ .
Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Une variable aléatoire $X$ suit une loi de moyenne $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma = 6$ . On prélève un échantillon de taille $n = 9$ . Calculer $E(M_9)$ , $V(M_9)$ et $\sigma(M_9)$ .

Étape 1 —

Identifier les paramètres de la population : espérance

\mu = E(X_i)

, variance

V = V(X_i)

, écart-type

\sigma = \sqrt{V}

Les paramètres de la population sont $\mu = 10$ , $\sigma = 6$ , donc $V = \sigma^2 = 36$ .

Étape 2 —

Écrire

M_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)

et appliquer la linéarité de l'espérance :

E(M_n) = \frac{1}{n} \cdot nE(X_i) = \mu

$E(M_9) = \mu = 10$ .

Étape 3 —

Appliquer l'additivité de la variance (variables indépendantes) puis

V(aX) = a^2 V(X)

V(M_n) = \frac{1}{n^2} \cdot nV(X_i) = \frac{V}{n}

$V(M_9) = \frac{V}{n} = \frac{36}{9} = 4$ .

Étape 4 —

En déduire l'écart-type :

\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{V}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Interpréter : si

n

est multiplié par

4

, l'écart-type est divisé par

2

$\sigma(M_9) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2$ . L'écart-type a été divisé par $3 = \sqrt{9}$ .

$E(M_9) = 10$ , $V(M_9) = 4$ , $\sigma(M_9) = 2$ .

Application guidée

Même population ( $\mu = 10$ , $\sigma = 6$ ). Comparer $\sigma(M_9)$ et $\sigma(M_{36})$ pour illustrer le rôle de $\sqrt{n}$ .

Application autonome 1

Le résultat d'un dé équilibré à $6$ faces a pour espérance $\mu = 3{,}5$ et variance $V = \frac{35}{12}$ . On lance $n = 60$ fois le dé et on note $M_{60}$ la moyenne des résultats. Calculer $E(M_{60})$ , $V(M_{60})$ et $\sigma(M_{60})$ .

Application autonome 2

Une variable $X$ a pour espérance $\mu = 50$ et écart-type $\sigma = 10$ . Pour quelle taille $n$ d'échantillon obtient-on $\sigma(M_n) \leq 1$ ?

Application autonome 3

Soit $X \sim \mathcal{B}(1; 0{,}4)$ , donc $\mu = 0{,}4$ et $\sigma^2 = 0{,}24$ . On tire un échantillon de taille $n = 100$ . Calculer $E(M_{100})$ et $\sigma(M_{100})$ , et comparer les écarts-types pour $n = 100$ et $n = 400$ .

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En appliquant E(Mn)=μE(M_n) = \muE(Mn​)=μ, V(Mn)=VnV(M_n) = \dfrac{V}{n}V(Mn​)=nV​, σ(Mn)=σn\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}σ(Mn​)=n​σ​ (l'écart-type est divisé par n\sqrt{n}n​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $E(M_n) = \mu$ , $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ , $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (l'écart-type est divisé par $\sqrt{n}$ )