Comment calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires par linéarité ? | MetMat

Comment calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires par linéarité ?

En appliquant $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX) = aE(X)$ (sans hypothèse d'indépendance), après avoir identifié les espérances élémentaires

Calculer $E(aX + bY + c)$ en utilisant uniquement les espérances connues de $X$ et $Y$ , sans hypothèse d'indépendance.

L'objectif

Calculer $E(aX + bY + c)$ en utilisant uniquement les espérances connues de $X$ et $Y$ , sans hypothèse d'indépendance.

Le principe

L'espérance est un opérateur linéaire : $E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$ pour tous réels $a, b, c$ , quelle que soit la dépendance entre $X$ et $Y$ .

La méthode

1
Identifier les variables aléatoires élémentaires $X_1, X_2, \ldots$ et les coefficients de la combinaison linéaire.
2
Déterminer ou rappeler les espérances individuelles $E(X_1), E(X_2), \ldots$ (loi connue, tableau de loi, ou formule usuelle).
3
Appliquer la linéarité : $E\!\left(\sum_{i=1}^{n} a_i X_i + c\right) = \sum_{i=1}^{n} a_i E(X_i) + c$ .
4
Calculer la valeur numérique en regroupant les termes.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré à $6$ faces. Soit $X$ le résultat du lancer. Calculer $E(3X - 2)$ .

Étape 1 —

Identifier les variables aléatoires élémentaires

X_1, X_2, \ldots

et les coefficients de la combinaison linéaire.

La variable élémentaire est $X$ , avec le coefficient $3$ et la constante $-2$ .

Étape 2 —

Déterminer ou rappeler les espérances individuelles

E(X_1), E(X_2), \ldots

(loi connue, tableau de loi, ou formule usuelle).

Le dé est équilibré : $E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ .

Étape 3 —

Appliquer la linéarité :

E\!\left(\sum_{i=1}^{n} a_i X_i + c\right) = \sum_{i=1}^{n} a_i E(X_i) + c

Par linéarité : $E(3X - 2) = 3E(X) - 2$ .

Étape 4 —

Calculer la valeur numérique en regroupant les termes.

$E(3X - 2) = 3 \times \frac{7}{2} - 2 = \frac{21}{2} - 2 = \frac{17}{2} = 8{,}5$ .

$E(3X - 2) = 8{,}5$ .

Application guidée

On lance deux dés équilibrés et on note $X$ et $Y$ leurs résultats respectifs. Calculer $E(X + Y)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E(X) = 4$ . Calculer $E(2X + 5)$ et $E(-X + 3)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et $E(Y) = -1$ . Calculer $E(2X - 3Y + 4)$ .

Application autonome 3

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $-1$ , $0$ , $2$ avec probabilités $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ . Calculer $E(5X - 3)$ .

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En appliquant E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X + Y) = E(X) + E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y) et E(aX)=aE(X)E(aX) = aE(X)E(aX)=aE(X) (sans hypothèse d'indépendance), après avoir identifié les espérances élémentaires

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ et $E(aX) = aE(X)$ (sans hypothèse d'indépendance), après avoir identifié les espérances élémentaires