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Comment calculer l'espérance et la variance de la loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n, p) ?

En décomposant X=X1+⋯+XnX = X_1 + \cdots + X_n (variables de Bernoulli indépendantes de même loi), puis en appliquant E(X)=npE(X) = np par linéarité et V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p) par additivité

L'objectif

Calculer l'espérance et la variance d'une variable X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p) en utilisant les formules E(X)=npE(X) = np et V(X)=np(1−p)V(X) = np(1-p).

Le principe

Si X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p), on décompose X=X1+⋯+XnX = X_1 + \cdots + X_n avec Xi∼B(1,p)X_i \sim \mathcal{B}(1, p) i.i.d. : la linéarité donne E(X)=nE(Xi)=npE(X) = nE(X_i) = np, et l'additivité donne V(X)=nV(Xi)=np(1−p)V(X) = nV(X_i) = np(1-p).

La méthode
  1. 1
    Identifier les paramètres nn (nombre d'épreuves) et pp (probabilité de succès) de la loi binomiale X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p).
  2. 2
    Rappeler la décomposition X=X1+⋯+XnX = X_1 + \cdots + X_n où les Xi∼B(1,p)X_i \sim \mathcal{B}(1, p) sont indépendantes, avec E(Xi)=pE(X_i) = p et V(Xi)=p(1−p)V(X_i) = p(1-p).
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  3. 3
    Appliquer la linéarité de l'espérance : E(X)=∑i=1nE(Xi)=npE(X) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = np.
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  4. 4
    Appliquer l'additivité de la variance (variables indépendantes) : V(X)=∑i=1nV(Xi)=np(1−p)V(X) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i) = np(1-p). En déduire l'écart-type σ(X)=np(1−p)\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}.
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Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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