Comment étudier les variations et les extrema d'une fonction trigonométrique ? | MetMat

Comment étudier les variations et les extrema d'une fonction trigonométrique ?

En calculant $f'$ , en étudiant son signe sur l'intervalle considéré, puis en dressant le tableau de variations

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d'une fonction trigonométrique, ainsi que ses valeurs maximales et minimales.

L'objectif

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d'une fonction trigonométrique, ainsi que ses valeurs maximales et minimales.

Le principe

Une fonction est croissante là où sa dérivée est positive et décroissante là où elle est négative ; les extrema se trouvent aux points où la dérivée s'annule en changeant de signe.

La méthode

1
Calculer $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation (composée, produit, quotient) selon l'expression de $f$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ ?Voir
2
Résoudre $f'(x) = 0$ sur l'intervalle considéré : ce sont les candidats aux extrema. Utiliser les équations trigonométriques si nécessaire.
Comment résoudre une équation du type $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur un intervalle ?Voir
3
Étudier le signe de $f'(x)$ sur chaque sous-intervalle délimité par les zéros de $f'$ .
4
Dresser le tableau de variations : indiquer les valeurs de $f$ aux bornes et aux points critiques, et les flèches de variation ( $\nearrow$ si $f' > 0$ , $\searrow$ si $f' < 0$ ).
5
Conclure sur les extrema : un maximum local est atteint quand $f'$ change de signe de $+$ à $-$ , un minimum local quand $f'$ change de signe de $-$ à $+$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = \sin x + \cos x$ sur $[0 ; 2\pi]$ .

Étape 1 —

Calculer $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation (composée, produit, quotient) selon l'expression de

f

$f'(x) = \cos x - \sin x$ .

Étape 2 —

Résoudre $f'(x) = 0$ sur l'intervalle considéré : ce sont les candidats aux extrema. Utiliser les équations trigonométriques si nécessaire.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ . Sur $[0 ; 2\pi]$ : $x = \dfrac{\pi}{4}$ et $x = \dfrac{5\pi}{4}$ .

Étape 3 —

Étudier le signe de $f'(x)$ sur chaque sous-intervalle délimité par les zéros de

f'

Sur $\left[0 ; \dfrac{\pi}{4}\right]$ : tester $x = 0$ : $f'(0) = 1 - 0 = 1 > 0$ . Sur $\left[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right]$ : tester $x = \dfrac{\pi}{2}$ : $f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 - 1 = -1 < 0$ . Sur $\left[\dfrac{5\pi}{4} ; 2\pi\right]$ : tester $x = \dfrac{3\pi}{2}$ : $f'\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 + 1 = 1 > 0$ .

Étape 4 —

Dresser le tableau de variations : indiquer les valeurs de

f

aux bornes et aux points critiques, et les flèches de variation (

\nearrow

f' > 0

\searrow

f' < 0

Tableau de variations : $f(0) = 1$ , $f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ , $f\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$ , $f(2\pi) = 1$ . $f$ croît sur $\left[0 ; \dfrac{\pi}{4}\right]$ , décroît sur $\left[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right]$ , croît sur $\left[\dfrac{5\pi}{4} ; 2\pi\right]$ .

Étape 5 —

Conclure sur les extrema : un maximum local est atteint quand

f'

change de signe de

+

-

, un minimum local quand

f'

change de signe de

-

+

$f$ admet un maximum $\sqrt{2}$ en $x = \dfrac{\pi}{4}$ et un minimum $-\sqrt{2}$ en $x = \dfrac{5\pi}{4}$ .

$f$ est maximale en $x = \dfrac{\pi}{4}$ avec $f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$ , et minimale en $x = \dfrac{5\pi}{4}$ avec $f\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$ .

Application guidée

Étudier les variations de $f(x) = 2\sin x - \sqrt{3}\cos x$ sur $[0 ; \pi]$ .

Application autonome 1

Étudier les variations de $f(x) = \cos(2x)$ sur $[0 ; \pi]$ .

Application autonome 2

Étudier les variations de $f(x) = x - \sin x$ sur $[0 ; 2\pi]$ .

Application autonome 3

Étudier les variations de $f(x) = \sin(2x) - x$ sur $[0 ; \pi]$ .

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En calculant f′f'f′, en étudiant son signe sur l'intervalle considéré, puis en dressant le tableau de variations

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $f'$ , en étudiant son signe sur l'intervalle considéré, puis en dressant le tableau de variations