Comment étudier les variations et les extrema d'une fonction trigonométrique ?
En calculant , en étudiant son signe sur l'intervalle considéré, puis en dressant le tableau de variations
L'objectif
Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d'une fonction trigonométrique, ainsi que ses valeurs maximales et minimales.
Le principe
Une fonction est croissante là où sa dérivée est positive et décroissante là où elle est négative ; les extrema se trouvent aux points où la dérivée s'annule en changeant de signe.
La méthode
- 1Calculer en appliquant les règles de dérivation (composée, produit, quotient) selon l'expression de .Comment calculer la dérivée d'une fonction faisant intervenir $\sin$ ou $\cos$ ?Voir
- 2Résoudre sur l'intervalle considéré : ce sont les candidats aux extrema. Utiliser les équations trigonométriques si nécessaire.Comment résoudre une équation du type $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur un intervalle ?Voir
- 3Étudier le signe de sur chaque sous-intervalle délimité par les zéros de .
- 4Dresser le tableau de variations : indiquer les valeurs de aux bornes et aux points critiques, et les flèches de variation ( si , si ).
- 5Conclure sur les extrema : un maximum local est atteint quand change de signe de à , un minimum local quand change de signe de à .
Exemple corrigé
Difficulté croissante de 1 à 4
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