Comment résoudre un problème géométrique impliquant les fonctions trigonométriques ?
En exprimant les grandeurs géométriques (longueurs, angles, aires) en fonction d'une variable, en formant la fonction à étudier, puis en cherchant ses extrema par dérivation
L'objectif
Maximiser ou minimiser une grandeur géométrique (aire, périmètre, longueur) dépendant d'un angle ou d'une variable trigonométrique.
Le principe
En paramétrant la situation géométrique par un angle , on exprime la grandeur à optimiser comme une fonction de , puis on cherche ses extrema par dérivation sur l'intervalle des valeurs possibles.
La méthode
- 1Paramétrer la situation : choisir un angle (ou une longueur) comme variable, préciser son domaine de variation (intervalle des valeurs géométriquement admissibles).
- 2Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de , en utilisant les relations trigonométriques dans les triangles ou sur le cercle (sinus, cosinus, relation de Chasles, formule de l'aire...).
- 3Dériver la fonction obtenue et résoudre sur le domaine de variation.
- 4Dresser le tableau de variations de pour identifier les extrema (maximum ou minimum) et vérifier qu'ils correspondent bien à une configuration géométrique valide.
- 5Conclure en précisant la valeur optimale de la grandeur et la configuration géométrique correspondante.
Exemple corrigé
Difficulté croissante de 1 à 3
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