Comment résoudre une équation du type $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur un intervalle ? | MetMat

Comment résoudre une équation du type $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur un intervalle ?

En trouvant la solution principale ( $x_0 \in [0,\pi]$ pour $\cos$ , $x_0 \in [-\pi/2,\pi/2]$ pour $\sin$ ), en déduisant les solutions générales par symétrie et périodicité, puis en sélectionnant celles dans l'intervalle demandé

Trouver toutes les solutions d'une équation trigonométrique sur un intervalle donné.

L'objectif

Trouver toutes les solutions d'une équation trigonométrique sur un intervalle donné.

Le principe

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$ -périodiques et symétriques : $\cos x = \cos x_0$ donne $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = -x_0 + 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ), et $\sin x = \sin x_0$ donne $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = \pi - x_0 + 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

La méthode

1
Vérifier l'existence de solutions : si $|a| > 1$ , l'équation n'a pas de solution. Si $|a| \leq 1$ , continuer.
2
Trouver la solution principale $x_0$ : pour $\cos x = a$ , chercher $x_0 \in [0, \pi]$ tel que $\cos x_0 = a$ (valeur remarquable ou $x_0 = \arccos a$ ) ; pour $\sin x = a$ , chercher $x_0 \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x_0 = a$ (valeur remarquable ou $x_0 = \arcsin a$ ).
3
Écrire les solutions générales : pour $\cos x = a$ : $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = -x_0 + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ ; pour $\sin x = a$ : $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = \pi - x_0 + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
4
Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé : substituer des valeurs entières de $k$ dans chaque famille de solutions et ne retenir que celles appartenant à l'intervalle cible.
5
Conclure en listant toutes les solutions retenues.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ .

Étape 1 —

Vérifier l'existence de solutions : si

|a| > 1

, l'équation n'a pas de solution. Si

|a| \leq 1

, continuer.

$\left|\dfrac{1}{2}\right| \leq 1$ , donc l'équation admet des solutions.

Étape 2 —

Trouver la solution principale $x_0$ : pour

\cos x = a

, chercher

x_0 \in [0, \pi]

tel que

\cos x_0 = a

(valeur remarquable ou

x_0 = \arccos a

) ; pour

\sin x = a

, chercher

x_0 \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]

tel que

\sin x_0 = a

(valeur remarquable ou

x_0 = \arcsin a

On reconnaît une valeur remarquable : $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ , donc $x_0 = \dfrac{\pi}{3} \in [0, \pi]$ .

Étape 3 —

Écrire les solutions générales : pour

\cos x = a

x = x_0 + 2k\pi

x = -x_0 + 2k\pi

k \in \mathbb{Z}

; pour

\sin x = a

x = x_0 + 2k\pi

x = \pi - x_0 + 2k\pi

k \in \mathbb{Z}

Les solutions générales sont : $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Étape 4 —

Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé : substituer des valeurs entières de

k

dans chaque famille de solutions et ne retenir que celles appartenant à l'intervalle cible.

Sur $[-\pi ; \pi]$ : pour $k = 0$ , $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$ , qui appartiennent bien à $[-\pi ; \pi]$ . Pour $k = \pm 1$ , les valeurs sortent de l'intervalle.

Étape 5 —

Conclure en listant toutes les solutions retenues.

Les solutions sont $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$ .

$S = \left\{-\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{\pi}{3}\right\}$

Application guidée

Résoudre $\cos x = -1$ sur $[0 ; 2\pi]$ .

Application autonome 1

Résoudre $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ .

Application autonome 2

Résoudre $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $[0 ; 2\pi]$ .

Application autonome 3

Résoudre $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ sur $[0 ; 2\pi]$ .

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