En cherchant les points fixes de $f$ (solutions de $f(\ell) = \ell$ ) pour identifier les limites candidates

Identifier les limites candidates d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ en résolvant l'équation de point fixe $f(\ell) = \ell$ .

L'objectif

Identifier les limites candidates d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ en résolvant l'équation de point fixe $f(\ell) = \ell$ .

Le principe

Si une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue, alors $\ell$ est nécessairement un point fixe de $f$ , c'est-à-dire une solution de $f(\ell) = \ell$ .

La méthode

1
Poser l'équation de point fixe $f(\ell) = \ell$ (ce que vérifierait toute limite éventuelle de la suite).
2
Résoudre algébriquement $f(\ell) = \ell$ pour trouver toutes les solutions réelles (points fixes potentiels).
3
Sélectionner le ou les points fixes compatibles avec les valeurs prises par la suite (vérifier que le point fixe est dans l'intervalle de stabilité).
4
Conclure : si la suite converge, sa limite est nécessairement ce point fixe (la convergence effective devra être prouvée par ailleurs, par exemple avec le théorème des suites monotones bornées).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $u_{n+1} = \frac{u_n + 3}{2}$ . Trouver les limites candidates.

Étape 1 —

Poser l'équation de point fixe

f(\ell) = \ell

(ce que vérifierait toute limite éventuelle de la suite).

On pose $f(\ell) = \ell$ , soit $\frac{\ell + 3}{2} = \ell$ .

Étape 2 —

Résoudre algébriquement

f(\ell) = \ell

pour trouver toutes les solutions réelles (points fixes potentiels).

$\ell + 3 = 2\ell$ , d'où $\ell = 3$ . Il y a un unique point fixe.

Étape 3 —

Sélectionner le ou les points fixes compatibles avec les valeurs prises par la suite (vérifier que le point fixe est dans l'intervalle de stabilité).

$\ell = 3$ est cohérent avec la suite (on peut vérifier que la suite reste dans $[0, 3]$ ).

Étape 4 —

Conclure : si la suite converge, sa limite est nécessairement ce point fixe (la convergence effective devra être prouvée par ailleurs, par exemple avec le théorème des suites monotones bornées).

Si la suite converge, elle converge nécessairement vers $3$ .

La limite candidate est $\ell = 3$ .

Application guidée

Soit $u_{n+1} = u_n^2 - u_n + 1$ . Trouver les limites candidates.

Application autonome 1

Soit $u_{n+1} = \frac{1}{2 + u_n}$ . Trouver les limites candidates.

Application autonome 2

Soit $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ . Trouver les limites candidates.

Application autonome 3

Soit $u_{n+1} = 3u_n(1 - u_n)$ (modèle logistique). Trouver les limites candidates.

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En cherchant les points fixes de fff (solutions de f(ℓ)=ℓf(\ell) = \ellf(ℓ)=ℓ) pour identifier les limites candidates

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En cherchant les points fixes de $f$ (solutions de $f(\ell) = \ell$ ) pour identifier les limites candidates