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Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

En étudiant le rapport un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} (pour une suite à termes strictement positifs)

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite dont tous les termes sont strictement positifs.

Le principe

Pour une suite à termes strictement positifs, si un+1un>1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1 pour tout nn, la suite est croissante ; si un+1un<1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1, elle est décroissante.

La méthode
  1. 1
    Vérifier que un>0u_n > 0 pour tout nn (condition indispensable à cette méthode).
  2. 2
    Calculer le rapport un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} et simplifier l'expression obtenue.
  3. 3
    Comparer ce rapport à 11 : étudier le signe de un+1un−1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} - 1.
  4. 4
    Conclure : si un+1un>1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1, la suite est croissante ; si un+1un<1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1, elle est décroissante.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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