Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ? | MetMat

Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

En étudiant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour une suite à termes strictement positifs)

Déterminer le sens de variation d'une suite dont tous les termes sont strictement positifs.

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite dont tous les termes sont strictement positifs.

Le principe

Pour une suite à termes strictement positifs, si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ pour tout $n$ , la suite est croissante ; si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ , elle est décroissante.

La méthode

1
Vérifier que $u_n > 0$ pour tout $n$ (condition indispensable à cette méthode).
2
Calculer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et simplifier l'expression obtenue.
3
Comparer ce rapport à $1$ : étudier le signe de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} - 1$ .
4
Conclure : si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ , la suite est croissante ; si $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1$ , elle est décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la monotonie de la suite géométrique $u_n = 3 \times 2^n$ .

Étape 1 —

Vérifier que

u_n > 0

pour tout

n

(condition indispensable à cette méthode).

$u_n = 3 \times 2^n > 0$ pour tout $n \geq 0$ .

Étape 2 —

Calculer le rapport

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}

et simplifier l'expression obtenue.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 \times 2^{n+1}}{3 \times 2^n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2$ .

Étape 3 —

Comparer ce rapport à

1

: étudier le signe de

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} - 1

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 2 > 1$ pour tout $n$ .

Étape 4 —

Conclure : si

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1

, la suite est croissante ; si

\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1

, elle est décroissante.

La suite est strictement croissante (raison $q = 2 > 1$ ).

La suite est strictement croissante.

Application guidée

Étudier la monotonie de la suite $u_n = 5 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ .

Application autonome 1

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{n!}{2^n}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 2

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{3^n}{n^2 + 1}$ pour $n \geq 0$ .

Application autonome 3

Étudier la monotonie de la suite $u_n = \dfrac{2^n}{n!}$ pour $n \geq 1$ .

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En étudiant le rapport un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n}un​un+1​​ (pour une suite à termes strictement positifs)

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En étudiant le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour une suite à termes strictement positifs)