Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

En écrivant $u_n = f(n)$ et en étudiant les variations de la fonction $f$

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite en se ramenant à l'étude d'une fonction dérivable.

Le principe

Si $u_n = f(n)$ et $f$ est dérivable sur $[0, +\infty[$ , alors $f' \geq 0$ implique $(u_n)$ croissante et $f' \leq 0$ implique $(u_n)$ décroissante.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ telle que $u_n = f(n)$ pour tout $n \geq 0$ (ou $n \geq n_0$ ).
2
Calculer la dérivée $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0, +\infty[$ (ou sur $[n_0, +\infty[$ ).
3
Conclure sur la monotonie de $f$ sur cet intervalle, puis reporter cette monotonie à la suite $(u_n)$ .
4
Préciser la conclusion : si $f'(x) > 0$ pour tout $x \geq 0$ , alors $(u_n)$ est strictement croissante ; si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.

Difficulté croissante de 1 à 5

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En écrivant un=f(n)u_n = f(n)un​=f(n) et en étudiant les variations de la fonction fff