Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?

En étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$

L'objectif

Déterminer si une suite est croissante, décroissante ou ni l'un ni l'autre.

Le principe

Une suite $(u_n)$ est croissante si et seulement si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ pour tout $n$ , et décroissante si et seulement si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ pour tout $n$ .

La méthode

1
Calculer l'expression $u_{n+1} - u_n$ en substituant l'expression de $u_{n+1}$ et en développant/simplifiant.
2
Factoriser ou mettre en évidence la structure de cette différence pour pouvoir étudier son signe.
3
Déterminer le signe de $u_{n+1} - u_n$ en fonction de $n$ (pour $n \geq 0$ ou $n \geq n_0$ ). Si le signe est constant, conclure sur la monotonie ; si le signe change, la suite n'est pas monotone.
4
Conclure : si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$ , la suite est strictement croissante ; si $u_{n+1} - u_n < 0$ , elle est strictement décroissante.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En étudiant le signe de un+1−unu_{n+1} - u_nun+1​−un​

Exemple corrigé

En étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$