Comment étudier le comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ ? | MetMat

Comment étudier le comportement d'une suite géométrique $(q^n)$ ?

En distinguant les cas : $|q|<1$ (limite $0$ ), $q=1$ (limite $1$ ), $q>1$ (diverge vers $+\infty$ ), $q \leq -1$ (pas de limite)

Déterminer le comportement à l'infini d'une suite géométrique $(q^n)$ selon la valeur de sa raison $q$ .

L'objectif

Déterminer le comportement à l'infini d'une suite géométrique $(q^n)$ selon la valeur de sa raison $q$ .

Le principe

Le comportement de $(q^n)$ dépend entièrement de $q$ : si $|q| < 1$ alors $q^n \to 0$ ; si $q = 1$ alors $q^n = 1$ ; si $q > 1$ alors $q^n \to +\infty$ ; si $q \leq -1$ la suite n'a pas de limite.

La méthode

1
Identifier la raison $q$ de la suite géométrique (en écrivant éventuellement $u_n = u_0 \cdot q^n$ ).
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Situer $q$ par rapport aux valeurs-clés $-1$ , $0$ , $1$ : calculer $|q|$ et déterminer le signe de $q$ .
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Appliquer le résultat de cours correspondant au cas identifié : $|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0$ ; $q = 1 \Rightarrow q^n = 1$ ; $q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty$ ; $q \leq -1 \Rightarrow$ pas de limite.
4
Conclure en précisant éventuellement le comportement qualitatif de $u_n = u_0 \cdot q^n$ (convergence vers $0$ , stationnarité, divergence, oscillation).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier le comportement de la suite $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

Étape 1 —

Identifier la raison

q

de la suite géométrique (en écrivant éventuellement

u_n = u_0 \cdot q^n

La raison est $q = \frac{1}{2}$ .

Étape 2 —

Situer

q

par rapport aux valeurs-clés

-1

0

1

: calculer

|q|

et déterminer le signe de

q

$|q| = \frac{1}{2} < 1$ et $q > 0$ .

Étape 3 —

Appliquer le résultat de cours correspondant au cas identifié :

|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0

;

q = 1 \Rightarrow q^n = 1

;

q > 1 \Rightarrow q^n \to +\infty

;

q \leq -1 \Rightarrow

pas de limite.

On est dans le cas $|q| < 1$ , donc $q^n \to 0$ .

Étape 4 —

Conclure en précisant éventuellement le comportement qualitatif de

u_n = u_0 \cdot q^n

(convergence vers

0

, stationnarité, divergence, oscillation).

La suite converge vers $0$ : $u_n \to 0$ en restant strictement positive et en décroissant.

$\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$

Application guidée

Étudier le comportement de la suite $u_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^n$ .

Application autonome 1

Étudier le comportement de la suite $u_n = 2^n$ .

Application autonome 2

Étudier le comportement de la suite $u_n = (-2)^n$ .

Application autonome 3

Un capital $C_0 = 1000$ \text{€} est placé à un taux annuel de $3\%$ . Exprimer $C_n$ en fonction de $n$ et déterminer sa limite.

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En distinguant les cas : ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1 (limite 000), q=1q=1q=1 (limite 111), q>1q>1q>1 (diverge vers +∞+\infty+∞), q≤−1q \leq -1q≤−1 (pas de limite)

Pour comprendre, fais des exercices !

En distinguant les cas : $|q|<1$ (limite $0$ ), $q=1$ (limite $1$ ), $q>1$ (diverge vers $+\infty$ ), $q \leq -1$ (pas de limite)