Comment appliquer le théorème des gendarmes à une suite ?

En encadrant $u_n$ entre deux suites $v_n \leq u_n \leq w_n$ ayant la même limite $\ell$ , puis en concluant $u_n \to \ell$

L'objectif

Démontrer la convergence d'une suite $u_n$ en l'encadrant par deux suites ayant la même limite.

Le principe

Le théorème des gendarmes stipule que si $v_n \leq u_n \leq w_n$ pour tout $n$ et si $v_n \to \ell$ et $w_n \to \ell$ , alors $u_n \to \ell$ .

La méthode

1
J'identifie une limite candidate $\ell$ en analysant l'expression de $u_n$ (souvent $0$ pour des suites oscillantes bornées).
2
Je construis un encadrement $v_n \leq u_n \leq w_n$ valable pour tout $n$ (en utilisant des inégalités classiques : $|\sin n| \leq 1$ , $|\cos n| \leq 1$ , $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ , etc.).
3
Je calcule les limites de $v_n$ et $w_n$ séparément et je vérifie qu'elles sont toutes deux égales à $\ell$ .
4
J'applique le théorème des gendarmes : $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $v_n \to \ell$ , $w_n \to \ell$ entraînent $u_n \to \ell$ .

Difficulté croissante de 1 à 5

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En encadrant unu_nun​ entre deux suites vn≤un≤wnv_n \leq u_n \leq w_nvn​≤un​≤wn​ ayant la même limite ℓ\ellℓ, puis en concluant un→ℓu_n \to \ellun​→ℓ