En trouvant une constante $M$ par récurrence : montrer que $u_n \leq M$ pour tout $n$ par hérédité

Démontrer rigoureusement qu'une suite est majorée (ou minorée) par une constante $M$ .

L'objectif

Démontrer rigoureusement qu'une suite est majorée (ou minorée) par une constante $M$ .

Le principe

On utilise le raisonnement par récurrence : on montre que la propriété $\mathcal{P}_n : u_n \leq M$ est vraie au rang initial puis que l'hérédité est vérifiée.

La méthode

1
Conjecturer la valeur du majorant (ou minorant) $M$ en observant les premiers termes ou en résolvant $f(M) = M$ si $u_{n+1} = f(u_n)$ .
2
Initialisation : vérifier que $u_0 \leq M$ (ou $u_0 \geq m$ pour un minorant).
3
Hérédité : supposer $u_n \leq M$ (hypothèse de récurrence), puis montrer que $u_{n+1} \leq M$ en utilisant l'expression de $u_{n+1}$ et l'hypothèse.
4
Conclure par le principe de récurrence que la propriété est vraie pour tout $n \geq 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Montrer que $u_n \leq 2$ pour tout $n \geq 0$ .

Étape 1 —

Conjecturer la valeur du majorant (ou minorant)

M

en observant les premiers termes ou en résolvant

f(M) = M

u_{n+1} = f(u_n)

On conjecture que $M = 2$ est un majorant (point fixe : $\sqrt{2+2} = 2$ ).

Étape 2 —

Initialisation : vérifier que

u_0 \leq M

(ou

u_0 \geq m

pour un minorant).

Initialisation : $u_0 = 0 \leq 2$ . \checkmark

Étape 3 —

Hérédité : supposer

u_n \leq M

(hypothèse de récurrence), puis montrer que

u_{n+1} \leq M

en utilisant l'expression de

u_{n+1}

et l'hypothèse.

Hérédité : on suppose $u_n \leq 2$ . Alors $u_n + 2 \leq 4$ , donc $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} \leq \sqrt{4} = 2$ .

Étape 4 —

Conclure par le principe de récurrence que la propriété est vraie pour tout

n \geq 0

Par récurrence, $u_n \leq 2$ pour tout $n \geq 0$ .

La suite est majorée par $2$ pour tout $n \geq 0$ .

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$ . Montrer que $u_n \geq 2$ pour tout $n \geq 0$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n^2 + 2}{2u_n}$ . Montrer que $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n \geq 1$ .

Application autonome 2

Montrer que la suite $u_n = \dfrac{n}{n^2 + 1}$ est majorée par $\dfrac{1}{2}$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}$ . Montrer que $2 \leq u_n \leq 4$ pour tout $n \geq 0$ (suite bornée).

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En trouvant une constante MMM par récurrence : montrer que un≤Mu_n \leq Mun​≤M pour tout nnn par hérédité

Pour comprendre, fais des exercices !

En trouvant une constante $M$ par récurrence : montrer que $u_n \leq M$ pour tout $n$ par hérédité