Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ? | MetMat

Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En combinant monotonie et valeur initiale (ex : suite croissante est minorée par $u_0$ )

Déduire rapidement un majorant ou minorant d'une suite à partir de sa monotonie et de sa valeur initiale (ou limite).

L'objectif

Déduire rapidement un majorant ou minorant d'une suite à partir de sa monotonie et de sa valeur initiale (ou limite).

Le principe

Une suite croissante est minorée par son premier terme $u_0$ ; une suite décroissante est majorée par $u_0$ . Si de plus la suite est convergente de limite $\ell$ , alors $\ell$ est l'autre borne.

La méthode

1
Établir (ou supposer connue) la monotonie de la suite $(u_n)$ .
Comment étudier le sens de variation d'une suite (croissante, décroissante) ?Voir
2
Si la suite est croissante, déduire immédiatement que $u_n \geq u_0$ pour tout $n$ (minorant). Si la suite est décroissante, déduire que $u_n \leq u_0$ (majorant).
3
Pour l'autre borne, utiliser la limite connue ou conjecturée $\ell$ : si $(u_n)$ croissante et converge vers $\ell$ , alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$ .
Comment calculer la limite d'une suite (convergente ou divergente) ?Voir
4
Conclure que la suite est bornée en précisant l'encadrement $u_0 \leq u_n \leq \ell$ (cas croissante) ou $\ell \leq u_n \leq u_0$ (cas décroissante).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . On a montré que $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ . En déduire qu'elle est bornée.

Étape 1 —

Établir (ou supposer connue) la monotonie de la suite

(u_n)

La suite est croissante (montré par ailleurs).

Étape 2 —

Si la suite est croissante, déduire immédiatement que

u_n \geq u_0

pour tout

n

(minorant). Si la suite est décroissante, déduire que

u_n \leq u_0

(majorant).

Étant croissante, elle est minorée par $u_0 = 0$ : $u_n \geq 0$ pour tout $n$ .

Étape 3 —

Pour l'autre borne, utiliser la limite connue ou conjecturée

\ell

: si

(u_n)

croissante et converge vers

\ell

, alors

u_n \leq \ell

pour tout

n

Elle est de plus majorée par $2$ (montré par récurrence). La limite $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ , soit $\ell = 2$ .

Étape 4 —

Conclure que la suite est bornée en précisant l'encadrement

u_0 \leq u_n \leq \ell

(cas croissante) ou

\ell \leq u_n \leq u_0

(cas décroissante).

La suite est bornée : $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n \geq 0$ .

La suite est bornée : $0 \leq u_n \leq 2$ .

Application guidée

Montrer que la suite $u_n = \dfrac{1}{n+1}$ est bornée en utilisant sa monotonie.

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = -5$ . Montrer que $(u_n)$ est minorée.

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1$ . On a montré que $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$ . Conclure que la suite est bornée.

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 2 - \dfrac{1}{n+1}$ pour $n \geq 0$ . Montrer que la suite est bornée.

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En combinant monotonie et valeur initiale (ex : suite croissante est minorée par u0u_0u0​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En combinant monotonie et valeur initiale (ex : suite croissante est minorée par $u_0$ )