Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ? | MetMat

Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?

En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$

Trouver une primitive d'une fonction usuelle ou d'une combinaison linéaire de fonctions usuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer une primitive de $f(x) = x^4$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Trouver une primitive d'une fonction usuelle ou d'une combinaison linéaire de fonctions usuelles.

Le principe

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; les primitives de $x^n$ ( $n \neq -1$ ), $\frac{1}{x}$ , $e^x$ , $\cos x$ , $\sin x$ sont données par le tableau usuel, et la primitivation est linéaire.

La méthode

1
Identifier la famille de la fonction : puissance $x^n$ , $\dfrac{1}{x}$ , exponentielle $e^x$ , ou trigonométrique $\cos x$ ou $\sin x$ .
2
Appliquer la formule correspondante du tableau : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (si $n \neq -1$ ), $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$ .
3
Si la fonction est une combinaison linéaire $af(x) + bg(x)$ , primitiviser terme à terme en utilisant la linéarité : $F(x) = aF_1(x) + bF_2(x)$ .
4
Ajouter la constante $C \in \mathbb{R}$ et préciser l'ensemble sur lequel la primitive est valable.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer une primitive de $f(x) = x^4$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Identifier la famille de la fonction : puissance

x^n

\dfrac{1}{x}

, exponentielle

e^x

, ou trigonométrique

\cos x

\sin x

La fonction est de la forme $x^n$ avec $n = 4$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule correspondante du tableau :

x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}

(si

n \neq -1

\dfrac{1}{x} \to \ln|x|

e^x \to e^x

\cos x \to \sin x

\sin x \to -\cos x

On applique la formule : $x^4 \to \dfrac{x^{4+1}}{4+1} = \dfrac{x^5}{5}$ .

Étape 3 —

Si la fonction est une combinaison linéaire

af(x) + bg(x)

, primitiviser terme à terme en utilisant la linéarité :

F(x) = aF_1(x) + bF_2(x)

Il n'y a qu'un seul terme, donc pas de combinaison linéaire à traiter.

Étape 4 —

Ajouter la constante

C \in \mathbb{R}

et préciser l'ensemble sur lequel la primitive est valable.

Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F(x) = \dfrac{x^5}{5} + C$ , $C \in \mathbb{R}$ .

$F(x) = \dfrac{x^5}{5} + C$

Application guidée

Calculer une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Application autonome 1

Calculer une primitive de $f(x) = e^x - \sin x$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Calculer une primitive de $f(x) = 3\cos x + 2x^2 - 5$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Calculer une primitive de $f(x) = \dfrac{4}{x} + 3e^x - 2\sin x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant le tableau des primitives usuelles : xn→xn+1n+1x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}xn→n+1xn+1​, 1x→ln⁡∣x∣\dfrac{1}{x} \to \ln|x|x1​→ln∣x∣, ex→exe^x \to e^xex→ex, cos⁡x→sin⁡x\cos x \to \sin xcosx→sinx, sin⁡x→−cos⁡x\sin x \to -\cos xsinx→−cosx

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$