Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?

En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$

L'objectif

Trouver une primitive d'une fonction usuelle ou d'une combinaison linéaire de fonctions usuelles.

Le principe

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; les primitives de $x^n$ ( $n \neq -1$ ), $\frac{1}{x}$ , $e^x$ , $\cos x$ , $\sin x$ sont données par le tableau usuel, et la primitivation est linéaire.

La méthode

1
Identifier la famille de la fonction : puissance $x^n$ , $\dfrac{1}{x}$ , exponentielle $e^x$ , ou trigonométrique $\cos x$ ou $\sin x$ .
2
Appliquer la formule correspondante du tableau : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (si $n \neq -1$ ), $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$ .
3
Si la fonction est une combinaison linéaire $af(x) + bg(x)$ , primitiviser terme à terme en utilisant la linéarité : $F(x) = aF_1(x) + bF_2(x)$ .
4
Ajouter la constante $C \in \mathbb{R}$ et préciser l'ensemble sur lequel la primitive est valable.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En utilisant le tableau des primitives usuelles : xn→xn+1n+1x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}xn→n+1xn+1​, 1x→ln⁡∣x∣\dfrac{1}{x} \to \ln|x|x1​→ln∣x∣, ex→exe^x \to e^xex→ex, cos⁡x→sin⁡x\cos x \to \sin xcosx→sinx, sin⁡x→−cos⁡x\sin x \to -\cos xsinx→−cosx

Exemple corrigé

En utilisant le tableau des primitives usuelles : $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\dfrac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos x \to \sin x$ , $\sin x \to -\cos x$