Comment calculer une primitive d'une fonction de la forme $(v' \circ u) \times u'$ ?

En reconnaissant la forme $f(u(x)) \times u'(x)$ où $f = v'$ , puis en écrivant directement $F(x) = v(u(x)) + C$

L'objectif

Calculer une primitive d'une expression de la forme $f(u(x)) \cdot u'(x)$ en utilisant la règle de composition.

Le principe

Si $v' = f$ et si la fonction à intégrer est de la forme $f(u(x)) \cdot u'(x)$ , alors une primitive est $v(u(x))$ — c'est la réciproque de la règle de dérivation des fonctions composées.

La méthode

1
Identifier la fonction intérieure $u(x)$ et calculer $u'(x)$ .
2
Vérifier que l'expression à intégrer est bien de la forme $f(u(x)) \cdot u'(x)$ (ou un multiple constant de cette forme) : $u'(x)$ doit apparaître comme facteur.
3
Identifier $f$ (la fonction extérieure appliquée à $u$ ) et trouver sa primitive $v$ telle que $v' = f$ (en utilisant le tableau des primitives usuelles).
Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?Voir
4
Écrire la primitive : $F(x) = v(u(x)) + C$ , en ajoutant éventuellement le facteur de correction si le coefficient de $u'$ n'est pas exactement $1$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En reconnaissant la forme f(u(x))×u′(x)f(u(x)) \times u'(x)f(u(x))×u′(x) où f=v′f = v'f=v′, puis en écrivant directement F(x)=v(u(x))+CF(x) = v(u(x)) + CF(x)=v(u(x))+C

Exemple corrigé

En reconnaissant la forme $f(u(x)) \times u'(x)$ où $f = v'$ , puis en écrivant directement $F(x) = v(u(x)) + C$