Comment calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan

L'objectif

Calculer les coordonnées du point $H$ projeté orthogonal d'un point $M_0$ sur un plan $\mathcal{P}$ .

Le principe

Le projeté orthogonal $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M_0$ : il est à l'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite passant par $M_0$ perpendiculairement à $\mathcal{P}$ .

La méthode

1
Identifier le vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ du plan $\mathcal{P}$ (lecture des coefficients de l'équation cartésienne).
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
2
Écrire la représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $M_0(x_0, y_0, z_0)$ et dirigée par $\vec{n}$ : $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ .
3
Substituer les expressions de $x$ , $y$ , $z$ dans l'équation cartésienne du plan pour trouver la valeur de $t$ .
Comment déterminer l'équation cartésienne d'un plan ?Voir
4
Calculer les coordonnées de $H$ en substituant la valeur de $t$ trouvée dans la représentation paramétrique de $\Delta$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En paramétrant la droite passant par M0M_0M0​ avec n⃗\vec{n}n comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan

Exemple corrigé

En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec $\vec{n}$ comme vecteur directeur, puis en cherchant l'intersection avec le plan