En identifiant un vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ et un point $A$ , puis en écrivant $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$

Écrire l'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ d'un plan connaissant un vecteur normal et un point.

L'objectif

Écrire l'équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ d'un plan connaissant un vecteur normal et un point.

Le principe

Un plan est entièrement déterminé par un point et une direction perpendiculaire (vecteur normal) : $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$ pour tout point $M$ du plan.

La méthode

1
Identifier un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ au plan (orthogonal à tous les vecteurs du plan).
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
2
Identifier un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant au plan.
3
Écrire $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$ , puis développer pour obtenir la forme $ax + by + cz + d = 0$ .

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Exercice d'exemple

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A(1, 2, 3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2, -1, 3)$ .

Étape 1 —

Identifier un vecteur normal

\vec{n}(a, b, c)

au plan (orthogonal à tous les vecteurs du plan).

Le vecteur normal est $\vec{n}(2, -1, 3)$ , donc $a = 2$ , $b = -1$ , $c = 3$ .

Étape 2 —

Identifier un point

A(x_A, y_A, z_A)

appartenant au plan.

Le point $A(1, 2, 3)$ appartient au plan.

Étape 3 —

Écrire

a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0

, puis développer pour obtenir la forme

ax + by + cz + d = 0

$2(x-1) + (-1)(y-2) + 3(z-3) = 0 \Rightarrow 2x - 2 - y + 2 + 3z - 9 = 0 \Rightarrow 2x - y + 3z - 9 = 0$ .

$2x - y + 3z - 9 = 0$

Application guidée

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A(0, 0, 0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1, 2, -1)$ .

Application autonome 1

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A(2, -1, 3)$ , $B(4, 1, 2)$ et $C(3, 0, 5)$ .

Application autonome 2

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A(1, 0, 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(0, 0, 1)$ .

Application autonome 3

Déterminer l'équation cartésienne du plan passant par $A(3, 1, -2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1, -3, 2)$ .

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En identifiant un vecteur normal n⃗=(a,b,c)\vec{n}=(a,b,c)n=(a,b,c) et un point AAA, puis en écrivant a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0a(x−xA​)+b(y−yA​)+c(z−zA​)=0

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant un vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ et un point $A$ , puis en écrivant $a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0$