En cherchant un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (résolution d'un système de deux équations)

Trouver un vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ normal à un plan lorsqu'on connaît deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de ce plan.

L'objectif

Trouver un vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ normal à un plan lorsqu'on connaît deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de ce plan.

Le principe

Un vecteur est normal au plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan, ce qui donne un système de deux équations.

La méthode

1
Identifier deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u}(u_1, u_2, u_3)$ et $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ du plan.
2
Poser $\vec{n}(a, b, c)$ et écrire le système $\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \end{cases}$ , soit $\begin{cases} u_1 a + u_2 b + u_3 c = 0 \\ v_1 a + v_2 b + v_3 c = 0 \end{cases}$ .
3
Choisir une valeur pour l'une des inconnues (par exemple $c = 1$ ) et résoudre le système pour trouver $a$ et $b$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Trouver un vecteur normal au plan contenant $\vec{u}(1, 2, 0)$ et $\vec{v}(0, 1, 1)$ .

Étape 1 —

Identifier deux vecteurs directeurs non colinéaires

\vec{u}(u_1, u_2, u_3)

\vec{v}(v_1, v_2, v_3)

du plan.

Les vecteurs directeurs sont $\vec{u}(1, 2, 0)$ et $\vec{v}(0, 1, 1)$ , non colinéaires.

Étape 2 —

Poser

\vec{n}(a, b, c)

et écrire le système

\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \end{cases}

, soit

\begin{cases} u_1 a + u_2 b + u_3 c = 0 \\ v_1 a + v_2 b + v_3 c = 0 \end{cases}

On pose $\vec{n}(a, b, c)$ et on écrit : $\begin{cases} a + 2b = 0 \\ b + c = 0 \end{cases}$ .

Étape 3 —

Choisir une valeur pour l'une des inconnues (par exemple

c = 1

) et résoudre le système pour trouver

a

b

On pose $c = 1$ : de la deuxième équation $b = -1$ , puis de la première $a = 2$ . On obtient $\vec{n}(2, -1, 1)$ .

$\vec{n}(2, -1, 1)$

Application guidée

Trouver un vecteur normal au plan passant par $A(1,0,0)$ , $B(0,1,0)$ et $C(0,0,1)$ .

Application autonome 1

Trouver un vecteur normal au plan contenant $\vec{u}(2, 1, -1)$ et $\vec{v}(1, 0, 2)$ .

Application autonome 2

Trouver un vecteur normal au plan contenant $\vec{u}(1, 1, 1)$ et $\vec{v}(2, -1, 0)$ .

Application autonome 3

Le plan $\mathcal{P}$ passe par $A(2,1,0)$ , $B(3,3,1)$ et $C(1,2,2)$ . Trouver un vecteur normal à $\mathcal{P}$ .

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