En lisant directement les coefficients $(a,b,c)$ de l'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$

Lire les coordonnées d'un vecteur normal à un plan directement dans son équation cartésienne.

L'objectif

Lire les coordonnées d'un vecteur normal à un plan directement dans son équation cartésienne.

Le principe

Dans l'équation $ax + by + cz + d = 0$ , le vecteur $(a, b, c)$ est toujours un vecteur normal au plan.

La méthode

1
Mettre l'équation du plan sous la forme $ax + by + cz + d = 0$ (développer si nécessaire).
2
Lire les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ : ce sont directement les coordonnées d'un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Donner un vecteur normal au plan d'équation $3x - 2y + z + 5 = 0$ .

Étape 1 —

Mettre l'équation du plan sous la forme

ax + by + cz + d = 0

(développer si nécessaire).

L'équation est déjà sous la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $a = 3$ , $b = -2$ , $c = 1$ .

Étape 2 —

Lire les coefficients de

x

y

z

: ce sont directement les coordonnées d'un vecteur normal

\vec{n}(a, b, c)

Un vecteur normal est $\vec{n}(3, -2, 1)$ .

$\vec{n}(3, -2, 1)$

Application guidée

Donner un vecteur normal au plan d'équation $2x - y + 4z = 7$ .

Application autonome 1

Donner un vecteur normal au plan d'équation $z = 3$ .

Application autonome 2

Deux plans sont-ils parallèles ? $\mathcal{P}_1 : x - 2y + 3z + 1 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : 2x - 4y + 6z - 5 = 0$ .

Application autonome 3

Donner un vecteur normal au plan d'équation $-x + 5y - 2z + 4 = 0$ et vérifier qu'il est orthogonal au vecteur $\vec{v}(3, 1, 4)$ .

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