Comment étudier la configuration d'une droite et d'un plan (intersection, parallélisme, appartenance) ?

En substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan pour trouver $t$ (solution unique = sécante, impossible = parallèle, toujours vraie = incluse)

L'objectif

Déterminer si une droite est sécante, parallèle ou incluse dans un plan, et calculer le point d'intersection le cas échéant.

Le principe

Substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan donne une équation en $t$ : une solution → point d'intersection ; pas de solution → droite parallèle (strictement) ; identité → droite incluse dans le plan.

La méthode

1
Écrire la représentation paramétrique de la droite $d$ : $x = x_0 + au$ , $y = y_0 + bv$ , $z = z_0 + ct$ .
2
Substituer ces expressions dans l'équation cartésienne du plan et simplifier pour obtenir une équation en $t$ .
Comment déterminer l'équation cartésienne d'un plan ?Voir
3
Analyser l'équation obtenue : si elle admet une solution unique $t_0$ , calculer les coordonnées du point d'intersection ; si elle est impossible, la droite est strictement parallèle au plan ; si elle est une identité ( $0 = 0$ ), la droite est entièrement incluse dans le plan.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan pour trouver ttt (solution unique = sécante, impossible = parallèle, toujours vraie = incluse)

Exemple corrigé

En substituant la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan pour trouver $t$ (solution unique = sécante, impossible = parallèle, toujours vraie = incluse)