En calculant le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre via $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$ (base × hauteur ÷ 3)

Calculer le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre à partir des coordonnées de ses sommets dans un repère orthonormé.

L'objectif

Calculer le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre à partir des coordonnées de ses sommets dans un repère orthonormé.

Le principe

Le volume d'une pyramide est $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$ , où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ est la hauteur (distance du sommet au plan de la base), obtenue par projeté orthogonal.

La méthode

1
Choisir une face comme base, déterminer l'équation du plan qui la contient, puis calculer l'aire $\mathcal{B}$ de cette face (triangle ou autre polygone).
2
Calculer la hauteur $h$ : distance du sommet opposé au plan de la base, en appliquant la formule $h = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .
Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?Voir
3
Appliquer la formule $V = \dfrac{1}{3}\,\mathcal{B}\times h$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Tétraèdre régulier trivial (base dans le plan $z=0$ )

Étape 1 —

Choisir une face comme base, déterminer l'équation du plan qui la contient, puis calculer l'aire

\mathcal{B}

de cette face (triangle ou autre polygone).

Tétraèdre $OABC$ : $O(0,0,0)$ , $A(3,0,0)$ , $B(0,3,0)$ , $C(0,0,3)$ . Base $OAB$ dans le plan $z=0$ . $\vec{OA}=(3,0,0)$ , $\vec{OB}=(0,3,0)$ . Aire $\mathcal{B} = \dfrac{1}{2}\times 3\times 3 = \dfrac{9}{2}$ (triangle rectangle).

Étape 2 —

Calculer la hauteur

h

: distance du sommet opposé au plan de la base, en appliquant la formule

h = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

Plan de la base $z=0$ . Hauteur depuis $C(0,0,3)$ : $h = 3$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule

V = \dfrac{1}{3}\,\mathcal{B}\times h

$V = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{9}{2}\times 3 = \dfrac{9}{2}$ .

$V = \dfrac{9}{2}$

Application guidée

Exemple 2 — Tétraèdre avec base dans un plan oblique

Application autonome 1

Exemple 3 — Tétraèdre avec hauteur par projeté orthogonal (base non dans un plan de coordonnées)

Application autonome 2

Exemple 4 — Tétraèdre avec base dans le plan $x+y+z=1$

Application autonome 3

Exemple 5 — Pyramide à base rectangulaire

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En calculant le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre via V=13B×hV = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times hV=31​B×h (base × hauteur ÷ 3)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre via $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$ (base × hauteur ÷ 3)