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Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?

En calculant le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre via V=13B×hV = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h (base × hauteur ÷ 3)

L'objectif

Calculer le volume d'une pyramide ou d'un tétraèdre à partir des coordonnées de ses sommets dans un repère orthonormé.

Le principe

Le volume d'une pyramide est V=13B×hV = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h, où B\mathcal{B} est l'aire de la base et hh est la hauteur (distance du sommet au plan de la base), obtenue par projeté orthogonal.

La méthode
  1. 1
    Choisir une face comme base, déterminer l'équation du plan qui la contient, puis calculer l'aire B\mathcal{B} de cette face (triangle ou autre polygone).
  2. 2
    Calculer la hauteur hh : distance du sommet opposé au plan de la base, en appliquant la formule h=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2h = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
    Voir
  3. 3
    Appliquer la formule V=13 B×hV = \dfrac{1}{3}\,\mathcal{B}\times h.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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