En utilisant la formule analytique $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ dans un repère orthonormé

Calculer numériquement $\vec{u}\cdot\vec{v}$ lorsque les coordonnées des deux vecteurs sont connues dans un repère orthonormé.

L'objectif

Calculer numériquement $\vec{u}\cdot\vec{v}$ lorsque les coordonnées des deux vecteurs sont connues dans un repère orthonormé.

Le principe

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(x_1;y_1;z_1)$ et $\vec{v}(x_2;y_2;z_2)$ vérifient $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ .

La méthode

1
Lire ou calculer les coordonnées $(x_1, y_1, z_1)$ de $\vec{u}$ et $(x_2, y_2, z_2)$ de $\vec{v}$ dans le repère orthonormé.
2
Appliquer la formule : $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$ .
3
Effectuer le calcul et donner la valeur numérique du produit scalaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Vecteurs à coordonnées entières

Étape 1 —

Lire ou calculer les coordonnées

(x_1, y_1, z_1)

\vec{u}

(x_2, y_2, z_2)

\vec{v}

dans le repère orthonormé.

On dispose de $\vec{u}(2; -1; 3)$ et $\vec{v}(1; 4; -2)$ dans un repère orthonormé.

Étape 2 —

Appliquer la formule :

\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

On applique : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 1 + (-1)\times 4 + 3\times(-2) = 2 - 4 - 6$ .

Étape 3 —

Effectuer le calcul et donner la valeur numérique du produit scalaire.

Donc $\vec{u}\cdot\vec{v} = -8$ .

$\vec{u}\cdot\vec{v} = -8$

Application guidée

Exemple 2 — À partir des coordonnées de deux points

Application autonome 1

Exemple 3 — Vecteur avec composante nulle

Application autonome 2

Exemple 4 — Produit scalaire nul (vérification d'orthogonalité)

Application autonome 3

Exemple 5 — Calcul de produit scalaire sur un cube

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