Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec le vecteur normal $\vec{n}$ du plan, puis en cherchant l'intersection avec le plan

L'objectif

Déterminer les coordonnées du pied $H$ de la perpendiculaire abaissée de $M_0$ sur le plan $\mathcal{P}$ .

Le principe

La perpendiculaire à $\mathcal{P}$ issue de $M_0$ a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ du plan ; son intersection avec $\mathcal{P}$ est le projeté $H$ .

La méthode

1
Identifier le vecteur normal $\vec{n}=(a,b,c)$ du plan $\mathcal{P}$ d'équation $ax+by+cz+d=0$ .
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?Voir
2
Écrire la droite perpendiculaire à $\mathcal{P}$ passant par $M_0(x_0,y_0,z_0)$ : $H(x_0+at,\; y_0+bt,\; z_0+ct)$ .
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Substituer les coordonnées de $H$ dans l'équation du plan et résoudre en $t$ : $a(x_0+at)+b(y_0+bt)+c(z_0+ct)+d=0$ , soit $(a^2+b^2+c^2)t = -(ax_0+by_0+cz_0+d)$ .
4
Calculer $t^* = -\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ , puis substituer pour obtenir les coordonnées de $H$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En paramétrant la droite passant par M0M_0M0​ avec le vecteur normal n⃗\vec{n}n du plan, puis en cherchant l'intersection avec le plan

Exemple corrigé

En paramétrant la droite passant par $M_0$ avec le vecteur normal $\vec{n}$ du plan, puis en cherchant l'intersection avec le plan