En calculant leur produit scalaire et en montrant qu'il est nul

Démontrer que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux en montrant que $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ .

L'objectif

Démontrer que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux en montrant que $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ .

Le principe

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ .

La méthode

1
Déterminer les coordonnées de $\vec{u}(x_1; y_1; z_1)$ et $\vec{v}(x_2; y_2; z_2)$ dans le repère orthonormé (lire dans l'énoncé ou calculer à partir de points).
2
Calculer le produit scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
3
Conclure : si $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ , alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Vecteurs à coordonnées entières

Étape 1 —

Déterminer les coordonnées de

\vec{u}(x_1; y_1; z_1)

\vec{v}(x_2; y_2; z_2)

dans le repère orthonormé (lire dans l'énoncé ou calculer à partir de points).

On a $\vec{u}(2; 1; -3)$ et $\vec{v}(3; 0; 2)$ .

Étape 2 —

Calculer le produit scalaire :

\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2

On calcule : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 3 + 1\times 0 + (-3)\times 2 = 6 + 0 - 6 = 0$ .

Étape 3 —

Conclure : si

\vec{u}\cdot\vec{v} = 0

, alors

\vec{u}

\vec{v}

sont orthogonaux.

Donc $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

Application guidée

Exemple 2 — À partir de coordonnées de points

Application autonome 1

Exemple 3 — Vecteur normal à un plan et vecteur du plan

Application autonome 2

Exemple 4 — Dans un tétraèdre régulier

Application autonome 3

Exemple 5 — Avec un paramètre

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