Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires dans l'espace ?

En calculant le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs et en montrant qu'il est nul

L'objectif

Démontrer que deux droites $d_1$ et $d_2$ sont perpendiculaires en montrant que leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul.

Le principe

Deux droites sont perpendiculaires dans l'espace si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux ( $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 0$ ), qu'elles se coupent ou non. C'est une différence fondamentale avec le plan : dans l'espace, des droites perpendiculaires peuvent être « gauches » (non coplanaires).

La méthode

1
Identifier (ou lire) un vecteur directeur $\vec{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\vec{u_2}$ de la droite $d_2$ .
2
Calculer le produit scalaire $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
3
Si $\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 0$ , conclure que $d_1 \perp d_2$ . Préciser si nécessaire que les droites peuvent ne pas se couper (droites gauches perpendiculaires).
Comment démontrer l'orthogonalité de deux vecteurs ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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