Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?

En trouvant le projeté orthogonal $H$ du point sur la droite ou le plan, puis en calculant $d = \|\vec{M_0H}\|$

L'objectif

Calculer la distance de $M_0$ à une droite ou à un plan en passant par le projeté orthogonal $H$ .

Le principe

La distance de $M_0$ à une droite ou un plan est la longueur du segment $[M_0H]$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M_0$ .

La méthode

1
Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M_0$ sur la droite ou le plan (par paramétrisation puis condition d'orthogonalité, ou par la droite de direction $\vec{n}$ intersectant le plan).
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
2
Calculer le vecteur $\vec{M_0H} = H - M_0$ , dont les coordonnées s'obtiennent en soustrayant celles de $M_0$ à celles de $H$ .
3
Calculer la distance $d(M_0, d) = \|\vec{M_0H}\| = \sqrt{(x_H - x_0)^2 + (y_H - y_0)^2 + (z_H - z_0)^2}$ .

Difficulté croissante de 1 à 5

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En trouvant le projeté orthogonal HHH du point sur la droite ou le plan, puis en calculant d=∥M0H⃗∥d = \|\vec{M_0H}\|d=∥M0​H​∥