En trouvant le projeté orthogonal $H$ du point sur la droite ou le plan, puis en calculant $d = \|\vec{M_0H}\|$

Calculer la distance de $M_0$ à une droite ou à un plan en passant par le projeté orthogonal $H$ .

L'objectif

Calculer la distance de $M_0$ à une droite ou à un plan en passant par le projeté orthogonal $H$ .

Le principe

La distance de $M_0$ à une droite ou un plan est la longueur du segment $[M_0H]$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M_0$ .

La méthode

1
Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M_0$ sur la droite ou le plan (par paramétrisation puis condition d'orthogonalité, ou par la droite de direction $\vec{n}$ intersectant le plan).
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
2
Calculer le vecteur $\vec{M_0H} = H - M_0$ , dont les coordonnées s'obtiennent en soustrayant celles de $M_0$ à celles de $H$ .
3
Calculer la distance $d(M_0, d) = \|\vec{M_0H}\| = \sqrt{(x_H - x_0)^2 + (y_H - y_0)^2 + (z_H - z_0)^2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Distance d'un point à l'axe $Oz$

Étape 1 —

Déterminer le projeté orthogonal

H

M_0

sur la droite ou le plan (par paramétrisation puis condition d'orthogonalité, ou par la droite de direction

\vec{n}

intersectant le plan).

La droite est l'axe $Oz$ : $A(0,0,0)$ , $\vec{u}=(0,0,1)$ . Pour $M_0(3,4,5)$ : $H(0,0,5)$ (projeté sur l'axe $z$ ).

Étape 2 —

Calculer le vecteur

\vec{M_0H} = H - M_0

, dont les coordonnées s'obtiennent en soustrayant celles de

M_0

à celles de

H

$\vec{M_0H} = (0-3,\;0-4,\;5-5) = (-3,-4,0)$ .

Étape 3 —

Calculer la distance

d(M_0, d) = \|\vec{M_0H}\| = \sqrt{(x_H - x_0)^2 + (y_H - y_0)^2 + (z_H - z_0)^2}

$d = \|\vec{M_0H}\| = \sqrt{9+16+0} = \sqrt{25} = 5$ .

$d = 5$

Application guidée

Exemple 2 — Distance d'un point à une droite quelconque

Application autonome 1

Exemple 3 — Distance d'un point au plan $x+y+z-6=0$

Application autonome 2

Exemple 4 — Distance d'un point au plan $2x-y+2z-3=0$

Application autonome 3

Exemple 5 — Distance d'un point à une droite passant par l'origine

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