Comment calculer la distance d'un point à une droite ou à un plan ?

Pour un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ : en appliquant $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

L'objectif

Calculer la distance de $M_0$ à un plan sans chercher explicitement le projeté orthogonal.

Le principe

La formule $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ découle directement du fait que la distance vaut $|t^*|\cdot\|\vec{n}\|$ avec $t^* = -\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ .

La méthode

1
Écrire l'équation du plan sous la forme $ax+by+cz+d=0$ et identifier les coefficients $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .
2
Rappeler la dérivation : le projeté $H$ est obtenu pour $t^* = -\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ , et $\|\vec{M_0H}\| = |t^*|\cdot\|\vec{n}\| = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .
3
Substituer les coordonnées $x_0,y_0,z_0$ de $M_0$ et calculer le numérateur $|ax_0+by_0+cz_0+d|$ .
4
Calculer le dénominateur $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (norme du vecteur normal), puis conclure $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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Pour un plan d'équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 : en appliquant d=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}d=a2+b2+c2​∣ax0​+by0​+cz0​+d∣​

Exemple corrigé

Pour un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ : en appliquant $d = \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$