Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ? | MetMat

Comment calculer un angle entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans ?

En utilisant $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (valeur absolue pour l'angle entre droites ou plans)

Calculer l'angle $\theta$ entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans à l'aide de la formule faisant intervenir le produit scalaire et les normes.

L'objectif

Calculer l'angle $\theta$ entre deux vecteurs, deux droites ou deux plans à l'aide de la formule faisant intervenir le produit scalaire et les normes.

Le principe

Angle entre deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ , résultat dans $[0;\pi]$ . Angle entre deux droites ou deux plans : $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ , résultat dans $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ (on prend la valeur absolue car une droite a deux sens, un plan a deux normales).

La méthode

1
Identifier les vecteurs à utiliser : vecteurs directeurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ pour des droites, vecteurs normaux $\vec{n_1}$ , $\vec{n_2}$ pour des plans, ou directement les vecteurs pour des angles entre vecteurs.
2
Calculer le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ , les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ .
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace ?Voir
3
Appliquer la formule adaptée : $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (vecteurs) ou $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (droites ou plans).
4
En déduire $\theta = \arccos(\cdots)$ et exprimer le résultat en degrés ou en radians.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — Angle entre deux vecteurs

Étape 1 —

Identifier les vecteurs à utiliser : vecteurs directeurs

\vec{u}

\vec{v}

pour des droites, vecteurs normaux

\vec{n_1}

\vec{n_2}

pour des plans, ou directement les vecteurs pour des angles entre vecteurs.

$\vec{u}(1;1;0)$ et $\vec{v}(0;1;1)$ : vecteurs directement donnés.

Étape 2 —

Calculer le produit scalaire

\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

, les normes

\|\vec{u}\|

\|\vec{v}\|

$\vec{u}\cdot\vec{v} = 0+1+0 = 1$ , $\|\vec{u}\| = \sqrt{2}$ , $\|\vec{v}\| = \sqrt{2}$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule adaptée :

\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}

(vecteurs) ou

\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}

(droites ou plans).

Angle entre vecteurs : $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 4 —

En déduire

\theta = \arccos(\cdots)

et exprimer le résultat en degrés ou en radians.

Donc $\theta = \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3}$ soit $60°$ .

$\theta = 60°$

Application guidée

Exemple 2 — Angle entre deux droites (sens non importants)

Application autonome 1

Exemple 3 — Angle entre deux plans via leurs vecteurs normaux

Application autonome 2

Exemple 4 — Angle en un sommet d'un cube

Application autonome 3

Exemple 5 — Angle entre une arête et la diagonale principale d'un cube

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En utilisant cos⁡θ=∣u⃗⋅v⃗∣∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}cosθ=∥u∥∥v∥∣u⋅v∣​ (valeur absolue pour l'angle entre droites ou plans)

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\cos\theta = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$ (valeur absolue pour l'angle entre droites ou plans)