En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$

Calculer l'aire du triangle $ABC$ dans l'espace à partir de ses coordonnées.

L'objectif

Calculer l'aire du triangle $ABC$ dans l'espace à partir de ses coordonnées.

Le principe

L'aire d'un triangle est la moitié du produit de la base par la hauteur correspondante ; la hauteur s'obtient comme la distance du sommet à la droite support de la base.

La méthode

1
Choisir une base, par exemple $[AB]$ , et calculer sa longueur $\|\vec{AB}\|$ .
2
Calculer la hauteur $h$ issue de $C$ : trouver le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur la droite $(AB)$ , puis $h = \|\vec{CH}\|$ .
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
3
Appliquer la formule : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\|\times h$ .
Comment calculer une aire ou un volume dans l'espace ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Exemple 1 — Triangle rectangle évident

Étape 1 —

Choisir une base, par exemple

[AB]

, et calculer sa longueur

\|\vec{AB}\|

$A(0,0,0)$ , $B(4,0,0)$ , $C(0,3,0)$ . Base $AB$ : $\|\vec{AB}\| = 4$ .

Étape 2 —

Calculer la hauteur

h

issue de

C

: trouver le projeté orthogonal

H

C

sur la droite

(AB)

, puis

h = \|\vec{CH}\|

Projeté de $C(0,3,0)$ sur la droite $(AB)$ : $\vec{u}=(1,0,0)$ , $H(0,0,0)=A$ . Donc $h = \|\vec{CH}\| = \|(0,-3,0)\| = 3$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\,\|\vec{AB}\|\times h

$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\times 4\times 3 = 6$ .

$\mathcal{A} = 6$

Application guidée

Exemple 2 — Triangle dans le plan $z=0$

Application autonome 1

Exemple 3 — Triangle dans l'espace (3D)

Application autonome 2

Exemple 4 — Triangle quelconque dans l'espace

Application autonome 3

Exemple 5 — Triangle avec hauteur irrationnelle

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En calculant l'aire d'un triangle via A=12∥AB⃗∥×h\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times hA=21​∥AB∥×h ou A=12∥AB⃗∥ ∥AC⃗∥sin⁡θ\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\thetaA=21​∥AB∥∥AC∥sinθ

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant l'aire d'un triangle via $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\times h$ ou $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|\sin\theta$