Comment utiliser les propriétés algébriques de $\ln$ pour simplifier une expression ? | MetMat

Comment utiliser les propriétés algébriques de $\ln$ pour simplifier une expression ?

En appliquant $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ (pour $a, b > 0$ )

Réécrire une expression contenant $\ln$ sous une forme simplifiée en utilisant les propriétés algébriques.

L'objectif

Réécrire une expression contenant $\ln$ sous une forme simplifiée en utilisant les propriétés algébriques.

Le principe

Pour tout $a, b > 0$ et tout $n \in \mathbb{R}$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ .

La méthode

1
Identifier la structure de l'expression : produit, quotient ou puissance sous le $\ln$ .
2
Décomposer l'argument en facteurs connus (puissances de nombres entiers, fractions, racines).
3
Appliquer la propriété correspondante : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ pour un produit, $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ pour un quotient, $\ln(a^n) = n\ln a$ pour une puissance.
4
Simplifier en utilisant $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , et en regroupant les termes.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simplifier $\ln 8$ .

Étape 1 —

Identifier la structure de l'expression : produit, quotient ou puissance sous le

\ln

L'argument est $8$ : on cherche à l'écrire comme une puissance d'un entier connu.

Étape 2 —

Décomposer l'argument en facteurs connus (puissances de nombres entiers, fractions, racines).

On décompose : $8 = 2^3$ .

Étape 3 —

Appliquer la propriété correspondante :

\ln(ab) = \ln a + \ln b

pour un produit,

\ln(a/b) = \ln a - \ln b

pour un quotient,

\ln(a^n) = n\ln a

pour une puissance.

On applique $\ln(a^n) = n\ln a$ : $\ln 8 = \ln(2^3) = 3\ln 2$ .

Étape 4 —

Simplifier en utilisant

\ln 1 = 0

\ln e = 1

, et en regroupant les termes.

L'expression est déjà simplifiée : $3\ln 2$ .

$\ln 8 = 3\ln 2$

Application guidée

Simplifier $\ln\left(\dfrac{1}{e^2}\right)$ .

Application autonome 1

Simplifier $\ln\sqrt{3}$ .

Application autonome 2

Simplifier $\ln(6) - \ln(3)$ .

Application autonome 3

Simplifier $\ln(4e^3)$ .

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