Comment utiliser les propriétés algébriques de $\ln$ pour simplifier une expression ?

En appliquant $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ (pour $a, b > 0$ )

L'objectif

Réécrire une expression contenant $\ln$ sous une forme simplifiée en utilisant les propriétés algébriques.

Le principe

Pour tout $a, b > 0$ et tout $n \in \mathbb{R}$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ .

La méthode

1
Identifier la structure de l'expression : produit, quotient ou puissance sous le $\ln$ .
2
Décomposer l'argument en facteurs connus (puissances de nombres entiers, fractions, racines).
3
Appliquer la propriété correspondante : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ pour un produit, $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ pour un quotient, $\ln(a^n) = n\ln a$ pour une puissance.
4
Simplifier en utilisant $\ln 1 = 0$ , $\ln e = 1$ , et en regroupant les termes.

Difficulté croissante de 1 à 5

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En appliquant ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln bln(ab)=lna+lnb, ln⁡(a/b)=ln⁡a−ln⁡b\ln(a/b) = \ln a - \ln bln(a/b)=lna−lnb, ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln aln(an)=nlna (pour a,b>0a, b > 0a,b>0)