Comment calculer des limites faisant intervenir $\ln$ (dont $x\ln x$ en $0$) ? | MetMat

Comment calculer des limites faisant intervenir $\ln$ (dont $x\ln x$ en $0$ ) ?

En utilisant les croissances comparées : $x^\alpha \ln x \to 0$ en $0^+$ pour $\alpha > 0$ , et $\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0$ en $+\infty$

Lever une forme indéterminée faisant intervenir $\ln x$ en $0^+$ ou en $+\infty$ en utilisant les résultats de croissances comparées.

L'objectif

Lever une forme indéterminée faisant intervenir $\ln x$ en $0^+$ ou en $+\infty$ en utilisant les résultats de croissances comparées.

Le principe

Pour tout $\alpha > 0$ : $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^\alpha} = 0$ (le logarithme est "négligeable" devant toute puissance).

La méthode

1
Identifier la forme indéterminée : $0 \times (-\infty)$ en $0^+$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ en $+\infty$ .
2
Réécrire l'expression sous la forme $x^\alpha \ln x$ (en $0^+$ ) ou $\dfrac{\ln x}{x^\alpha}$ (en $+\infty$ ) avec $\alpha > 0$ .
3
Appliquer directement le théorème de croissances comparées : la limite est $0$ .
4
Conclure sur la limite de la fonction initiale en précisant le résultat obtenu.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to 0^+} x\ln x$ .

Étape 1 —

Identifier la forme indéterminée :

0 \times (-\infty)

0^+

\dfrac{\infty}{\infty}

+\infty

En $0^+$ : $x \to 0$ et $\ln x \to -\infty$ , donc la forme est $0 \times (-\infty)$ (indéterminée).

Étape 2 —

Réécrire l'expression sous la forme

x^\alpha \ln x

(en

0^+

) ou

\dfrac{\ln x}{x^\alpha}

(en

+\infty

) avec

\alpha > 0

L'expression est $x^1 \ln x$ , soit $x^\alpha \ln x$ avec $\alpha = 1 > 0$ .

Étape 3 —

Appliquer directement le théorème de croissances comparées : la limite est

0

On applique le théorème de croissances comparées : $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0$ pour $\alpha = 1 > 0$ .

Étape 4 —

Conclure sur la limite de la fonction initiale en précisant le résultat obtenu.

$\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ .

$\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x}\,\ln x$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to 0^+} (x + 1)\ln x$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}$ .

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En utilisant les croissances comparées : xαln⁡x→0x^\alpha \ln x \to 0xαlnx→0 en 0+0^+0+ pour α>0\alpha > 0α>0, et ln⁡xxα→0\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0xαlnx​→0 en +∞+\infty+∞

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les croissances comparées : $x^\alpha \ln x \to 0$ en $0^+$ pour $\alpha > 0$ , et $\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0$ en $+\infty$