Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ?

En utilisant les fonctions réciproques : $e^{\ln x} = x$ et $\ln(e^x) = x$ pour isoler l'inconnue

L'objectif

Isoler l'inconnue en appliquant $\exp$ à une équation avec $\ln$ , ou $\ln$ à une équation avec $\exp$ .

Le principe

$\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre : $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

La méthode

1
Isoler $\ln(x)$ ou $e^x$ seul d'un côté de l'équation en effectuant des opérations algébriques.
2
Si l'inconnue est dans un $\ln$ , appliquer $\exp$ des deux membres pour obtenir $x = e^{\text{second membre}}$ . Si l'inconnue est dans un $\exp$ , appliquer $\ln$ des deux membres.
3
Vérifier les conditions d'existence (domaine de $\ln$ : argument strictement positif) et que la solution appartient au domaine.
4
Écrire l'ensemble solution.

Difficulté croissante de 1 à 4

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En utilisant les fonctions réciproques : eln⁡x=xe^{\ln x} = xelnx=x et ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = xln(ex)=x pour isoler l'inconnue