Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ?

En posant un changement de variable $X = e^x$ ou $X = \ln x$ pour se ramener à une équation algébrique

L'objectif

Transformer une équation exponentielle (ou logarithmique) à deux termes en une équation algébrique du second degré.

Le principe

Si une équation fait apparaître $e^x$ et $e^{2x}$ (ou $\ln x$ et $(\ln x)^2$ ), le changement de variable $X = e^x$ (ou $X = \ln x$ ) la ramène à une équation algébrique en $X$ .

La méthode

1
Repérer la structure de l'équation : identifier les puissances de $e^x$ ou de $\ln x$ en jeu.
2
Poser le changement de variable $X = e^x$ (si équation en $e^x$ , $e^{2x}$ , etc.) ou $X = \ln x$ (si équation en $\ln x$ , $(\ln x)^2$ , etc.).
3
Réécrire l'équation en termes de $X$ et résoudre l'équation algébrique obtenue (souvent du second degré).
4
Revenir à $x$ : résoudre $e^x = X_0$ (donne $x = \ln X_0$ si $X_0 > 0$ ) ou $\ln x = X_0$ (donne $x = e^{X_0}$ ). Vérifier les conditions d'existence et donner $\mathcal{S}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En posant un changement de variable X=exX = e^xX=ex ou X=ln⁡xX = \ln xX=lnx pour se ramener à une équation algébrique

Exemple corrigé

En posant un changement de variable $X = e^x$ ou $X = \ln x$ pour se ramener à une équation algébrique