Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ?

En utilisant la bijectivité : $\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y$ et $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$

L'objectif

Ramener une équation ou inéquation avec $\ln$ ou $\exp$ à une comparaison directe d'arguments.

Le principe

Les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont strictement croissantes, donc bijectives : $\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y$ et $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$ ; de plus $\ln x < \ln y \Leftrightarrow x < y$ (pour $x, y > 0$ ).

La méthode

1
Mettre l'équation sous la forme $\ln(A) = \ln(B)$ ou $e^A = e^B$ (un seul $\ln$ ou $\exp$ de chaque côté).
2
Vérifier les conditions d'existence : pour $\ln$ , on doit avoir $A > 0$ et $B > 0$ .
3
Appliquer la bijectivité pour se ramener à $A = B$ (ou $A < B$ , $A > B$ pour les inéquations), puis résoudre l'équation algébrique obtenue.
4
Vérifier que les solutions trouvées respectent les conditions d'existence et donner l'ensemble solution.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En utilisant la bijectivité : ln⁡x=ln⁡y⇔x=y\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = ylnx=lny⇔x=y et ex=ey⇔x=ye^x = e^y \Leftrightarrow x = yex=ey⇔x=y

Exemple corrigé

En utilisant la bijectivité : $\ln x = \ln y \Leftrightarrow x = y$ et $e^x = e^y \Leftrightarrow x = y$