En utilisant $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$ ), formule de la dérivée d'une composée

Exprimer la dérivée d'une fonction contenant $\ln(u(x))$ en calculant $u'(x)$ et en appliquant $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

L'objectif

Exprimer la dérivée d'une fonction contenant $\ln(u(x))$ en calculant $u'(x)$ et en appliquant $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

Le principe

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors $\left(\ln u(x)\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $u(x)$ à l'intérieur du $\ln$ et vérifier que $u(x) > 0$ sur le domaine de définition.
Comment calculer la dérivée d'une fonction composée $v \circ u$ ?Voir
2
Calculer $u'(x)$ en appliquant les règles de dérivation usuelles (somme, produit, quotient, puissance, etc.).
3
Appliquer la formule : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .
4
Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, réduire).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(3x + 1)$ sur $\left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

u(x)

à l'intérieur du

\ln

et vérifier que

u(x) > 0

sur le domaine de définition.

On identifie $u(x) = 3x + 1$ . Sur $\left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[$ , on a $u(x) > 0$ .

Étape 2 —

Calculer

u'(x)

en appliquant les règles de dérivation usuelles (somme, produit, quotient, puissance, etc.).

$u'(x) = 3$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}

$f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{3}{3x + 1}$ .

Étape 4 —

Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, réduire).

L'expression est déjà simplifiée : $f'(x) = \dfrac{3}{3x+1}$ .

$f'(x) = \dfrac{3}{3x+1}$

Application guidée

Calculer la dérivée de $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $h(x) = x\ln x$ sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $k(x) = \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$ sur $\left]1\,;\,+\infty\right[$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(\sqrt{x+2})$ sur $\left]-2\,;\,+\infty\right[$ .

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