Comment utiliser les croissances comparées de $\ln$ et des puissances pour calculer une limite ?

En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : écrire la limite comme un quotient dont on connaît le comportement

L'objectif

Déterminer le comportement dominant d'une expression en $+\infty$ grâce à la hiérarchie des fonctions.

Le principe

En $+\infty$ , on a la hiérarchie $\ln x \ll x^\alpha \ll e^x$ pour tout $\alpha > 0$ : toute puissance de $x$ l'emporte sur $\ln x$ , et $e^x$ l'emporte sur toute puissance.

La méthode

1
Repérer les fonctions en présence : $\ln x$ , puissances $x^n$ , $e^x$ , et identifier les termes dominants en $+\infty$ .
2
Mettre l'expression sous forme de quotient (si ce n'est pas déjà le cas) ou factoriser par le terme dominant.
3
Appliquer la hiérarchie : $\dfrac{\ln x}{x^\alpha} \to 0$ , $\dfrac{x^n}{e^x} \to 0$ , $\dfrac{\ln x}{e^x} \to 0$ en $+\infty$ .
4
Conclure sur le comportement de l'expression et donner la valeur de la limite.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En appliquant la hiérarchie ln⁡x≪xn≪ex\ln x \ll x^n \ll e^xlnx≪xn≪ex en +∞+\infty+∞ : écrire la limite comme un quotient dont on connaît le comportement

Exemple corrigé

En appliquant la hiérarchie $\ln x \ll x^n \ll e^x$ en $+\infty$ : écrire la limite comme un quotient dont on connaît le comportement