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Comment appliquer le théorème des gendarmes à une fonction ?

En encadrant f(x)f(x) entre deux fonctions g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) ayant la même limite ℓ\ell, puis en concluant lim⁡f=ℓ\lim f = \ell

L'objectif

Calculer la limite d'une fonction en l'encadrant entre deux fonctions dont on connaît la limite commune.

Le principe

Si g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) au voisinage de aa (ou de ±∞\pm\infty), et si lim⁡x→ag(x)=lim⁡x→ah(x)=ℓ\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell, alors lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x \to a} f(x) = \ell.

La méthode
  1. 1
    Isoler la partie de f(x)f(x) qui pose problème (souvent un terme oscillant comme sin⁡\sin, cos⁡\cos ou un terme borné).
  2. 2
    Encadrer f(x)f(x) : utiliser le fait que ∣sin⁡x∣≤1|\sin x| \leq 1, ∣cos⁡x∣≤1|\cos x| \leq 1, ou tout autre encadrement connu, pour obtenir g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x).
  3. 3
    Calculer lim⁡g(x)\lim g(x) et lim⁡h(x)\lim h(x) : vérifier qu'elles sont égales et valent ℓ\ell.
  4. 4
    Conclure par le théorème des gendarmes : lim⁡f(x)=ℓ\lim f(x) = \ell.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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