Pour une FI $0 \times \infty$ : en réécrivant sous forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$

Lever une forme indéterminée $0 \times \infty$ en transformant le produit en un quotient.

L'objectif

Lever une forme indéterminée $0 \times \infty$ en transformant le produit en un quotient.

Le principe

Si $f(x) \to 0$ et $g(x) \to \infty$ , on écrit $f(x) \cdot g(x) = \dfrac{f(x)}{1/g(x)}$ (forme $\frac{0}{0}$ ) ou $\dfrac{g(x)}{1/f(x)}$ (forme $\frac{\infty}{\infty}$ ), puis on lève la nouvelle FI.

La méthode

1
Identifier la forme indéterminée $0 \times \infty$ : un facteur tend vers $0$ , l'autre vers $\pm\infty$ .
2
Choisir la forme quotient la plus commode : en général, on place au dénominateur le facteur le plus simple à inverser. Par exemple, $f(x) \cdot g(x) = \dfrac{f(x)}{1/g(x)}$ ou $\dfrac{g(x)}{1/f(x)}$ .
3
Appliquer ensuite la méthode de levée de la FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ (factorisation, croissances comparées, etc.).
4
Calculer la limite et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x}$ .

Étape 1 —

Identifier la forme indéterminée

0 \times \infty

: un facteur tend vers

0

, l'autre vers

\pm\infty

$\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$ : forme indéterminée $\infty \times 0$ .

Étape 2 —

Choisir la forme quotient la plus commode : en général, on place au dénominateur le facteur le plus simple à inverser. Par exemple,

f(x) \cdot g(x) = \dfrac{f(x)}{1/g(x)}

\dfrac{g(x)}{1/f(x)}

On réécrit : $x \cdot e^{-x} = \dfrac{x}{e^x}$ (forme $\frac{\infty}{\infty}$ ).

Étape 3 —

Appliquer ensuite la méthode de levée de la FI

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

(factorisation, croissances comparées, etc.).

Par les croissances comparées, $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} = 0$ .

Étape 4 —

Calculer la limite et conclure.

$\lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x} = 0$ .

$\lim_{x \to +\infty} x \cdot e^{-x} = 0$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - x) e^{-x}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} \cdot \ln x$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 \ln\!\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)$ .

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Pour une FI 0×∞0 \times \infty0×∞ : en réécrivant sous forme 00\frac{0}{0}00​ ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​

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Pour une FI $0 \times \infty$ : en réécrivant sous forme $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$