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Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?

Pour une FI 0×∞0 \times \infty : en réécrivant sous forme 00\frac{0}{0} ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}

L'objectif

Lever une forme indéterminée 0×∞0 \times \infty en transformant le produit en un quotient.

Le principe

Si f(x)→0f(x) \to 0 et g(x)→∞g(x) \to \infty, on écrit f(x)⋅g(x)=f(x)1/g(x)f(x) \cdot g(x) = \dfrac{f(x)}{1/g(x)} (forme 00\frac{0}{0}) ou g(x)1/f(x)\dfrac{g(x)}{1/f(x)} (forme ∞∞\frac{\infty}{\infty}), puis on lève la nouvelle FI.

La méthode
  1. 1
    Identifier la forme indéterminée 0×∞0 \times \infty : un facteur tend vers 00, l'autre vers ±∞\pm\infty.
  2. 2
    Choisir la forme quotient la plus commode : en général, on place au dénominateur le facteur le plus simple à inverser. Par exemple, f(x)⋅g(x)=f(x)1/g(x)f(x) \cdot g(x) = \dfrac{f(x)}{1/g(x)} ou g(x)1/f(x)\dfrac{g(x)}{1/f(x)}.
  3. 3
    Appliquer ensuite la méthode de levée de la FI 00\frac{0}{0} ou ∞∞\frac{\infty}{\infty} (factorisation, croissances comparées, etc.).
  4. 4
    Calculer la limite et conclure.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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