Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ? | MetMat

Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?

En invoquant la continuité d'une fonction usuelle en un point (la limite est égale à la valeur de la fonction en ce point)

Calculer la limite d'une fonction continue en un point sans calcul intermédiaire, par substitution directe.

L'objectif

Calculer la limite d'une fonction continue en un point sans calcul intermédiaire, par substitution directe.

Le principe

Toute fonction continue en $a$ vérifie $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; les fonctions polynômes, rationnelles (hors annulation du dénominateur), $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , $\sqrt{}$ sont continues sur leur domaine de définition.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ et le point $a$ vers lequel $x$ tend.
2
Vérifier que $f$ est une fonction usuelle continue en $a$ (polynôme, fraction rationnelle avec dénominateur non nul en $a$ , $\exp$ , $\ln$ avec $a > 0$ , etc.).
3
Calculer $f(a)$ par substitution directe de $x = a$ .
4
Conclure : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x + 1)$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

et le point

a

vers lequel

x

tend.

On calcule la limite de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ en $a = 2$ .

Étape 2 —

Vérifier que

f

est une fonction usuelle continue en

a

(polynôme, fraction rationnelle avec dénominateur non nul en

a

\exp

\ln

avec

a > 0

, etc.).

$f$ est un polynôme, continu en tout point.

Étape 3 —

Calculer

f(a)

par substitution directe de

x = a

$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$ .

Étape 4 —

Conclure :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

$\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x + 1) = 3$ .

$\lim_{x \to 2} (x^3 - 3x + 1) = 3$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to 1} e^{x^2 - 1}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to e} \ln(x^2)$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 4} \sqrt{x^2 + 9}$ .

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