Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ? | MetMat

Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?

En identifiant un point $a$ où $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : la droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe

Identifier les asymptotes verticales d'une courbe en cherchant les points où la fonction diverge.

L'objectif

Identifier les asymptotes verticales d'une courbe en cherchant les points où la fonction diverge.

Le principe

La droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$ ; cela se produit aux zéros du dénominateur (pour une fraction), en $0$ pour $\ln x$ , ou aux bornes du domaine.

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition de $f$ et identifier les points exclus : zéros du dénominateur, points où $\ln$ ou $\sqrt{}$ s'annulent, etc.
2
Pour chaque point $a$ suspect, calculer $\lim_{x \to a^+} f(x)$ et $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (en tenant compte du signe du dénominateur selon le côté d'approche).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
3
Vérifier que l'une (au moins) de ces limites est $+\infty$ ou $-\infty$ .
4
Conclure : «La droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .»

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ . Déterminer l'asymptote verticale.

Étape 1 —

Déterminer le domaine de définition de

f

et identifier les points exclus : zéros du dénominateur, points où

\ln

\sqrt{}

s'annulent, etc.

Le dénominateur $x - 3$ s'annule en $x = 3$ . Le domaine est $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque point

a

suspect, calculer

\lim_{x \to a^+} f(x)

\lim_{x \to a^-} f(x)

(en tenant compte du signe du dénominateur selon le côté d'approche).

Pour $x \to 3^+$ : $x - 3 > 0$ et tend vers $0^+$ , donc $\dfrac{1}{x-3} \to +\infty$ . Pour $x \to 3^-$ : $x - 3 < 0$ et tend vers $0^-$ , donc $\dfrac{1}{x-3} \to -\infty$ .

Étape 3 —

Vérifier que l'une (au moins) de ces limites est

+\infty

-\infty

Les deux limites sont infinies.

Étape 4 —

Conclure : «La droite

x = a

est asymptote verticale à la courbe de

f

.»

La droite $x = 3$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .

$x = 3$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .

Application guidée

Soit $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 4}$ . Déterminer les asymptotes verticales.

Application autonome 1

Soit $f(x) = \ln(x - 1)$ . Déterminer l'asymptote verticale.

Application autonome 2

Soit $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$ . Étudier le comportement en $x = 0$ .

Application autonome 3

Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{(x - 1)^2}$ . Déterminer les asymptotes verticales.

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En identifiant un point aaa où lim⁡x→af(x)=±∞\lim_{x \to a} f(x) = \pm\inftylimx→a​f(x)=±∞ : la droite x=ax = ax=a est asymptote verticale à la courbe

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant un point $a$ où $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : la droite $x = a$ est asymptote verticale à la courbe