Comment identifier une asymptote horizontale ou verticale à partir d'une limite ?

En calculant $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ (finie) : la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe

L'objectif

Déterminer les asymptotes horizontales d'une courbe en calculant les limites de la fonction en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Le principe

La droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$ (respectivement $-\infty$ ) si et seulement si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (respectivement $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \ell$ ), avec $\ell \in \mathbb{R}$ .

La méthode

1
Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : si cette limite est un réel fini $\ell$ , alors $y = \ell$ est asymptote horizontale en $+\infty$ .
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
2
Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ : si cette limite est un réel fini $m$ , alors $y = m$ est asymptote horizontale en $-\infty$ .
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou en $\pm\infty$ ?Voir
3
Vérifier si $\ell = m$ (une seule AH) ou $\ell \neq m$ (deux AH distinctes, l'une à gauche, l'autre à droite).
4
Énoncer clairement : «La droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ .»

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En calculant lim⁡x→±∞f(x)=ℓ\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \elllimx→±∞​f(x)=ℓ (finie) : la droite y=ℓy = \elly=ℓ est asymptote horizontale à la courbe

Exemple corrigé

En calculant $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ (finie) : la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe