En appliquant $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$

Déterminer la valeur $\mu$ telle que le rectangle de hauteur $\mu$ et de base $[a,b]$ a la même aire que le domaine sous la courbe de $f$ .

L'objectif

Déterminer la valeur $\mu$ telle que le rectangle de hauteur $\mu$ et de base $[a,b]$ a la même aire que le domaine sous la courbe de $f$ .

Le principe

La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ ; c'est l'analogue continu de la moyenne d'une série de valeurs.

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ , l'intervalle $[a, b]$ et calculer $b - a$ .
2
Calculer l'intégrale $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'une primitive.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
3
Appliquer la formule : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .
Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0, 3]$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

, l'intervalle

[a, b]

et calculer

b - a

$f(x) = x^2$ , $[a,b] = [0,3]$ , $b - a = 3$ .

Étape 2 —

Calculer l'intégrale

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

à l'aide d'une primitive.

$\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule :

\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

$\mu = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3$ .

$\mu = 3$

Application guidée

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = \sin x$ sur $[0, \pi]$ .

Application autonome 1

La température (en °C) d'une pièce entre $t = 0$ h et $t = 12$ h est modélisée par $T(t) = 18 + 2\sin\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$ . Calculer la température moyenne sur $[0, 12]$ .

Application autonome 2

Calculer la valeur moyenne de $f(x) = e^x$ sur $[0, 1]$ .

Application autonome 3

La vitesse d'un véhicule entre $t = 0$ s et $t = 10$ s est modélisée par $v(t) = 2t + 5$ (en m/s). Calculer la vitesse moyenne sur cet intervalle.

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En appliquant μ=1b−a∫abf(x) dx\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}xμ=b−a1​∫ab​f(x)dx

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En appliquant $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$