En calculant une somme de Riemann (méthode des rectangles) : $\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\dfrac{b-a}{n}\right) \cdot \dfrac{b-a}{n}$

Approcher $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ par une somme finie calculable, en subdivisant $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles égaux.

L'objectif

Approcher $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ par une somme finie calculable, en subdivisant $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles égaux.

Le principe

On approche l'aire sous la courbe par la somme des aires de $n$ rectangles de largeur $\frac{b-a}{n}$ et de hauteur $f(a + k\frac{b-a}{n})$ .

La méthode

1
Choisir le nombre de subdivisions $n$ et calculer le pas $h = \dfrac{b-a}{n}$ .
2
Identifier les abscisses des subdivisions : $x_k = a + k\,h$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$ .
3
Calculer les hauteurs des rectangles : $f(x_k)$ pour chaque $k$ .
4
Calculer la somme de Riemann : $S_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)$ , qui approche $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

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Exercice d'exemple

Approcher $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ par une somme de Riemann avec $n = 4$ subdivisions.

Étape 1 —

Choisir le nombre de subdivisions

n

et calculer le pas

h = \dfrac{b-a}{n}

$n = 4$ , $h = \dfrac{1-0}{4} = 0{,}25$ .

Étape 2 —

Identifier les abscisses des subdivisions :

x_k = a + k\,h

pour

k = 0, 1, \ldots, n-1

$x_0 = 0$ , $x_1 = 0{,}25$ , $x_2 = 0{,}5$ , $x_3 = 0{,}75$ .

Étape 3 —

Calculer les hauteurs des rectangles :

f(x_k)

pour chaque

k

$f(0) = 0$ , $f(0{,}25) = 0{,}0625$ , $f(0{,}5) = 0{,}25$ , $f(0{,}75) = 0{,}5625$ .

Étape 4 —

Calculer la somme de Riemann :

S_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)

, qui approche

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

$S_4 = 0{,}25 \times (0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625) = 0{,}25 \times 0{,}875 = 0{,}21875$ . (La valeur exacte est $\frac{1}{3} \approx 0{,}333$ .)

$S_4 \approx 0{,}219$ (valeur exacte $\frac{1}{3}$ )

Application guidée

Approcher $\int_0^1 e^x\,\mathrm{d}x$ par une somme de Riemann avec $n = 3$ subdivisions.

Application autonome 1

Montrer que $\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}$ converge vers $\ln 2$ en la reconnaissant comme une somme de Riemann.

Application autonome 2

Approcher $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x$ par une somme de Riemann à gauche avec $n = 4$ subdivisions.

Application autonome 3

Montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k}{n^2}$ converge lorsque $n \to +\infty$ en la reconnaissant comme une somme de Riemann.

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