Comment estimer graphiquement ou numériquement une intégrale ?

En calculant une somme de Riemann (méthode des rectangles) : $\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\dfrac{b-a}{n}\right) \cdot \dfrac{b-a}{n}$

L'objectif

Approcher $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ par une somme finie calculable, en subdivisant $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles égaux.

Le principe

On approche l'aire sous la courbe par la somme des aires de $n$ rectangles de largeur $\frac{b-a}{n}$ et de hauteur $f(a + k\frac{b-a}{n})$ .

La méthode

1
Choisir le nombre de subdivisions $n$ et calculer le pas $h = \dfrac{b-a}{n}$ .
2
Identifier les abscisses des subdivisions : $x_k = a + k\,h$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$ .
3
Calculer les hauteurs des rectangles : $f(x_k)$ pour chaque $k$ .
4
Calculer la somme de Riemann : $S_n = h \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)$ , qui approche $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Difficulté croissante de 1 à 3

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En calculant une somme de Riemann (méthode des rectangles) : ∑k=0n−1f ⁣(a+kb−an)⋅b−an\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\dfrac{b-a}{n}\right) \cdot \dfrac{b-a}{n}∑k=0n−1​f(a+knb−a​)⋅nb−a​