Comment calculer une intégrale par intégration par parties ?

En choisissant $u$ (à dériver, souvent polynôme ou $\ln$ ) et $v'$ (à intégrer, souvent $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ ), puis en appliquant $\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v$

L'objectif

Calculer $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$ lorsqu'aucune primitive directe n'est disponible, en décomposant intelligemment le produit.

Le principe

La formule d'IPP découle de la dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$ , d'où $\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .

La méthode

1
Identifier $u$ et $v'$ dans l'intégrale (règle ILATE : Inverse trig, $\ln$ , Algébrique/polynôme, Trigonométrique, Exponentielle — choisir $u$ le plus à gauche).
2
Calculer $u'$ (dérivée de $u$ ) et $v$ (une primitive de $v'$ ).
Comment calculer une primitive d'une fonction de référence ?Voir
3
Appliquer la formule : $\int_a^b u\,v'\,\mathrm{d}x = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .
4
Calculer le crochet $[u\,v]_a^b = u(b)v(b) - u(a)v(a)$ , puis calculer l'intégrale restante $\int_a^b u'\,v\,\mathrm{d}x$ .
5
Conclure en combinant les résultats et en simplifiant.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En choisissant uuu (à dériver, souvent polynôme ou ln⁡\lnln) et v′v'v′ (à intégrer, souvent exp⁡\expexp, sin⁡\sinsin, cos⁡\coscos), puis en appliquant ∫abu v′=[u v]ab−∫abu′ v\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v∫ab​uv′=[uv]ab​−∫ab​u′v

Exemple corrigé

En choisissant $u$ (à dériver, souvent polynôme ou $\ln$ ) et $v'$ (à intégrer, souvent $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ ), puis en appliquant $\int_a^b u\,v' = [u\,v]_a^b - \int_a^b u'\,v$