En identifiant ce que représente $f(x)$ dans le contexte (débit, vitesse, densité, coût marginal...) et en interprétant $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ comme la quantité totale accumulée sur $[a,b]$

Traduire un problème concret en intégrale, calculer la quantité totale accumulée (distance, coût, volume, quantité de substance) et interpréter le résultat dans le contexte.

L'objectif

Traduire un problème concret en intégrale, calculer la quantité totale accumulée (distance, coût, volume, quantité de substance) et interpréter le résultat dans le contexte.

Le principe

Si $f(x)$ représente un taux d'évolution (vitesse, débit, coût marginal...), alors $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ donne la variation totale de la grandeur accumulée sur $[a, b]$ .

La méthode

1
Identifier la grandeur représentée par $f(x)$ : préciser ses unités et ce qu'elle mesure (vitesse en m/s, débit en L/h, coût marginal en \text{€}/unité...).
2
Identifier les bornes $a$ et $b$ et leur signification dans le contexte (instants, quantités produites, distances...).
3
Calculer l'intégrale $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ à l'aide d'une primitive.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
4
Interpréter le résultat dans le contexte en précisant les unités et la signification physique, économique ou biologique de la valeur obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un objet se déplace en ligne droite avec une vitesse $v(t) = 3t^2 - 2t$ (en m/s) pour $t \in [0, 3]$ (en secondes). Calculer le déplacement de l'objet sur $[1, 3]$ .

Étape 1 —

Identifier la grandeur représentée par

f(x)

: préciser ses unités et ce qu'elle mesure (vitesse en m/s, débit en L/h, coût marginal en \text{€}/unité...).

$v(t)$ est la vitesse (en m/s) ; $\int_1^3 v(t)\,\mathrm{d}t$ donnera le déplacement (en mètres) de $t = 1$ s à $t = 3$ s.

Étape 2 —

Identifier les bornes

a

b

et leur signification dans le contexte (instants, quantités produites, distances...).

Les bornes $a = 1$ s et $b = 3$ s délimitent l'intervalle de temps considéré.

Étape 3 —

Calculer l'intégrale

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

à l'aide d'une primitive.

$\int_1^3 (3t^2 - 2t)\,\mathrm{d}t = [t^3 - t^2]_1^3 = (27 - 9) - (1 - 1) = 18$ .

Étape 4 —

Interpréter le résultat dans le contexte en précisant les unités et la signification physique, économique ou biologique de la valeur obtenue.

Le déplacement de l'objet entre $t = 1$ s et $t = 3$ s est de $18$ m (en sens positif).

$18$ m

Application guidée

Le coût marginal de production d'une entreprise est $c'(q) = 0{,}3q^2 - 2q + 10$ (en \text{€}/unité). Calculer le coût total de production des unités 5 à 10.

Application autonome 1

Un médicament est éliminé de l'organisme à un débit $d(t) = 2e^{-0{,}5t}$ mg/h (pour $t$ en heures). Calculer la quantité de médicament éliminée entre $t = 0$ h et $t = 4$ h.

Application autonome 2

Un réservoir est rempli avec un débit $D(t) = \sqrt{t} + 1$ (en L/min). Calculer le volume entré entre $t = 0$ min et $t = 9$ min.

Application autonome 3

La puissance électrique consommée par une machine est $P(t) = 50 + 20\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{12}\right)$ (en kW), avec $t$ en heures sur $[0, 24]$ . Calculer l'énergie totale consommée sur une journée.

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En identifiant ce que représente f(x)f(x)f(x) dans le contexte (débit, vitesse, densité, coût marginal...) et en interprétant ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x∫ab​f(x)dx comme la quantité totale accumulée sur [a,b][a,b][a,b]

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant ce que représente $f(x)$ dans le contexte (débit, vitesse, densité, coût marginal...) et en interprétant $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ comme la quantité totale accumulée sur $[a,b]$