Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ? | MetMat

Comment encadrer une intégrale à partir d'un encadrement de la fonction ?

En utilisant : si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a,b]$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b-a)$

Obtenir un encadrement de $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ sans calculer la valeur exacte, à partir de bornes de $f$ .

L'objectif

Obtenir un encadrement de $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ sans calculer la valeur exacte, à partir de bornes de $f$ .

Le principe

Si $f$ est bornée par $m$ et $M$ sur $[a,b]$ , l'aire sous la courbe est comprise entre les aires des rectangles de hauteur $m$ et $M$ .

La méthode

1
Identifier l'intervalle $[a, b]$ et calculer sa longueur $b - a$ .
2
Déterminer un minorant $m$ et un majorant $M$ de $f$ sur $[a, b]$ (en étudiant les variations, ou en utilisant les valeurs en $a$ et $b$ si $f$ est monotone).
3
Appliquer l'inégalité : $m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b-a)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Encadrer $\int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ en utilisant les bornes de $e^{-x^2}$ sur $[0,1]$ .

Étape 1 —

Identifier l'intervalle

[a, b]

et calculer sa longueur

b - a

L'intervalle est $[0, 1]$ , longueur $1 - 0 = 1$ .

Étape 2 —

Déterminer un minorant

m

et un majorant

M

f

sur

[a, b]

(en étudiant les variations, ou en utilisant les valeurs en

a

b

f

est monotone).

$f(x) = e^{-x^2}$ est décroissante sur $[0,1]$ (car $-x^2$ est décroissant). Donc $m = f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$ et $M = f(0) = e^0 = 1$ .

Étape 3 —

Appliquer l'inégalité :

m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b-a)

$\dfrac{1}{e} \cdot 1 \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \leq 1 \cdot 1$ , soit $\dfrac{1}{e} \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \leq 1$ .

$\dfrac{1}{e} \leq \int_0^1 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x \leq 1$

Application guidée

Encadrer $\int_1^2 \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ en utilisant les bornes de $\dfrac{1}{x}$ sur $[1,2]$ .

Application autonome 1

En déduire un encadrement de $\pi$ en utilisant $\int_0^1 \dfrac{4}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \pi$ .

Application autonome 2

Encadrer $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^4}\,\mathrm{d}x$ en utilisant les bornes de $\dfrac{1}{1+x^4}$ sur $[0,1]$ .

Application autonome 3

Encadrer $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 x\,\mathrm{d}x$ à partir des bornes de $\sin^2$ sur $[0, \pi/2]$ .

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