Comment calculer l'aire entre deux courbes ?

En déterminant les points d'intersection de $f$ et $g$ , puis en calculant $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ (en séparant selon le signe de $f - g$ )

L'objectif

Calculer l'aire (en unités d'aire) de la surface comprise entre les courbes de $f$ et $g$ sur un intervalle donné.

Le principe

L'aire entre deux courbes est $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ ; on la décompose en intervalles où $f - g$ garde un signe constant.

La méthode

1
Résoudre $f(x) = g(x)$ pour trouver les points d'intersection (abscisses $a, b, c, \ldots$ ) qui délimitent les sous-intervalles.
2
Sur chaque sous-intervalle, déterminer le signe de $f(x) - g(x)$ (par un tableau de signes ou en testant une valeur).
3
Écrire $\mathcal{A} = \sum \int_{\text{sous-intervalle}} |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ en remplaçant $|f - g|$ par $f - g$ ou $g - f$ selon le signe.
4
Calculer chaque intégrale à l'aide d'une primitive, puis sommer pour obtenir $\mathcal{A}$ en unités d'aire.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En déterminant les points d'intersection de fff et ggg, puis en calculant A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}xA=∫ab​∣f(x)−g(x)∣dx (en séparant selon le signe de f−gf - gf−g)

Exemple corrigé

En déterminant les points d'intersection de $f$ et $g$ , puis en calculant $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ (en séparant selon le signe de $f - g$ )