En déterminant les points d'intersection de $f$ et $g$ , puis en calculant $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ (en séparant selon le signe de $f - g$ )

Calculer l'aire (en unités d'aire) de la surface comprise entre les courbes de $f$ et $g$ sur un intervalle donné.

L'objectif

Calculer l'aire (en unités d'aire) de la surface comprise entre les courbes de $f$ et $g$ sur un intervalle donné.

Le principe

L'aire entre deux courbes est $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ ; on la décompose en intervalles où $f - g$ garde un signe constant.

La méthode

1
Résoudre $f(x) = g(x)$ pour trouver les points d'intersection (abscisses $a, b, c, \ldots$ ) qui délimitent les sous-intervalles.
2
Sur chaque sous-intervalle, déterminer le signe de $f(x) - g(x)$ (par un tableau de signes ou en testant une valeur).
3
Écrire $\mathcal{A} = \sum \int_{\text{sous-intervalle}} |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ en remplaçant $|f - g|$ par $f - g$ ou $g - f$ selon le signe.
4
Calculer chaque intégrale à l'aide d'une primitive, puis sommer pour obtenir $\mathcal{A}$ en unités d'aire.
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer l'aire délimitée par $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur $[0, 1]$ .

Étape 1 —

Résoudre

f(x) = g(x)

pour trouver les points d'intersection (abscisses

a, b, c, \ldots

) qui délimitent les sous-intervalles.

$f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 = x \Leftrightarrow x(x-1) = 0$ , soit $x = 0$ et $x = 1$ .

Étape 2 —

Sur chaque sous-intervalle, déterminer le signe de

f(x) - g(x)

(par un tableau de signes ou en testant une valeur).

Sur $]0, 1[$ , $x^2 < x$ , donc $f(x) - g(x) < 0$ , soit $g(x) - f(x) > 0$ .

Étape 3 —

Écrire

\mathcal{A} = \sum \int_{\text{sous-intervalle}} |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x

en remplaçant

|f - g|

par

f - g

g - f

selon le signe.

$\mathcal{A} = \int_0^1 (x - x^2)\,\mathrm{d}x$ .

Étape 4 —

Calculer chaque intégrale à l'aide d'une primitive, puis sommer pour obtenir

\mathcal{A}

en unités d'aire.

$= \left[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ u.a.

$\mathcal{A} = \dfrac{1}{6}$ u.a.

Application guidée

Calculer l'aire délimitée par $f(x) = x^2 - 1$ et $g(x) = 1 - x^2$ .

Application autonome 1

Calculer l'aire délimitée par $f(x) = \sin x$ et $g(x) = \cos x$ sur $[0, \pi]$ .

Application autonome 2

Calculer l'aire délimitée par $f(x) = e^x$ et $g(x) = 1$ sur $[0, 1]$ .

Application autonome 3

Calculer l'aire délimitée par $f(x) = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses.

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En déterminant les points d'intersection de fff et ggg, puis en calculant A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}xA=∫ab​∣f(x)−g(x)∣dx (en séparant selon le signe de f−gf - gf−g)

Pour comprendre, fais des exercices !

En déterminant les points d'intersection de $f$ et $g$ , puis en calculant $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,\mathrm{d}x$ (en séparant selon le signe de $f - g$ )