Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : $f$ convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes

L'objectif

Établir la convexité ou la concavité d'une fonction en démontrant une inégalité entre $f(x)$ et son équation de tangente.

Le principe

Une fonction $f$ dérivable est convexe sur $I$ si et seulement si, pour tout $a \in I$ , la courbe de $f$ est au-dessus de la tangente au point d'abscisse $a$ : $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ pour tout $x \in I$ .

La méthode

1
Écrire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ : $T_a : y = f(a) + f'(a)(x - a)$ .
2
Former la différence $g(x) = f(x) - [f(a) + f'(a)(x - a)]$ qui représente l'écart entre la courbe et la tangente.
3
Étudier le signe de $g(x)$ : calculer $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ , chercher ses zéros, et utiliser un tableau de variations pour montrer que $g$ admet un minimum en $a$ avec $g(a) = 0$ .
4
Conclure : si $g(x) \geq 0$ pour tout $x$ , alors $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x-a)$ , ce qui confirme que $f$ est convexe. Donner la signification géométrique : la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : fff convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes

Exemple corrigé

En comparant la position de la courbe par rapport à ses tangentes : $f$ convexe si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes